Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；
（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標分別代入y=ax²+bx中得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；
（2）計算函數(shù)值為3所對應的自變量的值即可得到C點，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ABC的面積；
（3）作PQ⊥BH，如圖，設P（m，-m²+4m），則利用S_△ABH+S_梯形APQH=S_△PBQ+S_△ABP可得到關于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點坐標．

解答 解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-x²+4x；
（2）當y=3時，-x²+4x=3，解得x₁=1，x₂=3，則C點坐標為（3，3），
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）作PQ⊥BH，如圖，設P（m，-m²+4m）
∵S_△ABH+S_梯形APQH=S_△PBQ+S_△ABP，
∴$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）×（m²-4m）=$\frac{1}{2}$×（m-1）×（3+m²-4m）+6，
整理得m2-5m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴P點坐標為（5，-5）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．