Question

已知：如圖1，二次函數(shù)y=a（x-1）²-4的圖象交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB=3OA．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，M是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線在B點(diǎn)右側(cè)上一點(diǎn)，Q是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，并且AQ⊥PQ，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠PAQ=∠AMQ？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，設(shè)（1）中拋物線的頂點(diǎn)為M，R為x軸正半軸上一點(diǎn)，將（1）中拋物線繞R旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₁：y=-a （x-h）²+k交x軸于D，E兩點(diǎn)．若tan∠BME=1，求R點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）若設(shè)OA=x，則OB=3x，那么首先用x表達(dá)出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，而這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，可據(jù)此確定這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再任取一點(diǎn)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)a的值．
（2）在Rt△AOM和Rt△AQP中，有一組相等的銳角，顯然這兩個(gè)直角三角形是相似的，由A、M的坐標(biāo)不難看出AO、OM的比例關(guān)系，可據(jù)此求出PQ、AQ的比例關(guān)系；過P作PH⊥QM于H，顯然有相似三角形：△PHQ、△AQP，那么也就知道了QH、AQ以及PH、QG的比例關(guān)系（設(shè)G為拋物線對(duì)稱軸和x軸的交點(diǎn)），首先設(shè)出PH的長，再用這個(gè)未知數(shù)表示出QG的長，即可表達(dá)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中求解即可．
（3）由于兩個(gè)拋物線的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，那么可視作A、E以及B、D都關(guān)于點(diǎn)R對(duì)稱，若求R點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；過E作EQ⊥MB，交MB的延長線于Q，然后過M作MP⊥x軸于P，這樣就構(gòu)建出了相似三角形：△MPB和△EQB，易知MP=2PB，顯然有QE=2QB，而tan∠BME=1，即QE=MQ，顯然有QE=MQ=2BQ，即MB=BQ，而MB的長容易求得，由此可得出BQ的長，在Rt△BQE中，由勾股定理不難求出BE的長，則E點(diǎn)坐標(biāo)可得，題目可解．

解答：解：（1）由題意知，拋物線的對(duì)稱軸：x=1；
設(shè)OA=x，則OB=3OA=3x，即：A（-x，0）、B（3x，0）；
由于A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，所以

-x+3x

2

=1，即x=1，A（-1，0）、B（3，0）；
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
0=a（3-1）²-4，解得：a=1
∴拋物線的解析式：y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，過P作PH⊥QM于H，如右圖；
∵∠AMQ=∠PAQ，∠AGM=∠AQP=90°，
∴△AMG∽△PAQ，得：

PQ

AQ

=

AG

MG

=

1

2

，即AQ=2PQ；
∵∠QAG=∠PQH=90°-∠AQG，∠AQP=∠PHQ=90°，
∴△AQG∽△QPH，得：

QH

AG

=

PH

QG

=

PQ

AQ

=

1

2

，即：QH=

1

2

AG=1，QG=2PH；
設(shè)PH=x，QG=2x（x＞0），則：P（x+1，2x-1），代入拋物線的解析式中，得：
（x+1）²-2（x+1）-3=2x-1，化簡，得：x²-2x-3=0
解得：x=3（負(fù)值舍去）；
∴P（4，5）；
綜上，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為（4，5）．

（3）過E作EQ⊥MB，交MB的延長線于點(diǎn)Q；過M作MP⊥x軸于P，則Rt△MPB∽R(shí)t△EQB，得：

BP

MP

=

BQ

QE

=

1

2

，即：QE=2BQ；
在Rt△BQM中，tan∠BME=1，則：QM=QE=2QB，即：MB=BQ；
在Rt△MPB中，PM=4，BP=2，則：MB=BQ=

5

BP=2

5

；
在Rt△BQE中，QB=2

5

，QE=2BQ，則：BE=

5

BQ=10，即：E（13，0）；
由題意知，A、E以及B、D都關(guān)于點(diǎn)R對(duì)稱，已知：A（-1，0）、E（13，0），則：
點(diǎn)R的坐標(biāo)為（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)以及相似三角形的應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn)；后兩題的難度較大，通過輔助線作出與題目相關(guān)的相似三角形是打開解題思路的關(guān)鍵．