Question

拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c滿足如下四個(gè)條件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-4；a＜b＜c．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點(diǎn)為C．P是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，AP交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)OD=1.5時(shí)，試比較S_△AOD與S_△DPC的大�。�

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閍不等于0故分別令c=0以及b=0時(shí)求出a，c的值．
（2）令y=0求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．做PG⊥x軸于G，利用線段比求出m值，然后可求出各有關(guān)線段的值．最后求解．

解答：解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
＜1＞當(dāng)b=0時(shí)
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+c=3 ac=-4

，
解得

a1=-1 c1=4

或

a2=4 c2=-1

，
∵a＜b＜c，
∴

a2=4 c2=-1

，（不合意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4．（2分）
＜2＞當(dāng)c=0時(shí)
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+b=3 ab=-4

，
解之得

a1=4 b1=-1

或

a2=-1 b2=4

．
∵a＜b＜c，
∴

a1=4 b1=-1

和

a2=-1 b2=4

都不合題意，舍去．（3分）
∴所求的拋物線解析式為y=-x²+4．（4分）

（2）在y=-x²+4中，當(dāng)y=0時(shí)，x=±2
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），
過P作PG⊥x軸于G，設(shè)P（m，n）
∵點(diǎn)P在拋物線上且在第一象限內(nèi)，
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2（5分）
∵OD∥PG，OD=1.5
∴

OA

AG

=

OD

PG

，即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

解得m1=

5

4

，m2=-2（不合題意，舍去），
∴OG=

5

4

（7分）
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）
∴DC=OC-OD=4-1.5=2.5 S_△PDC=

1

2

CD•OG=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

S_△AOD=

1

2

AO•OD=

1

2

×1.5×2=

3

2

=

24

16

∴S_△PDC＞S_△AOD．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及三角形面積的計(jì)算，難度較大．