Question

已知：正方形的邊長(zhǎng)為1，射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，試猜想線(xiàn)段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

（2）設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括點(diǎn)、），如圖 1，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出的取值范圍．

（3）當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).試判斷以為圓心以為半徑的和以為圓心以為半徑的之間的位置關(guān)系.

（4）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖 2．問(wèn)△與△能否相似，若能相似，求出的值，若不可能相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ，證明見(jiàn)解析 (2)  (3) 當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，與外切；當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，與內(nèi)切．（4）相似，所求的長(zhǎng)為

【解析】（1）猜想：．                                                    (1分)

證明：將△繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得△，

易知點(diǎn)、、在一直線(xiàn)上．圖1．                  (1分)

∵，

，

      又，

∴△≌△

∴．                          (1分)

（2）由（1）得

又，，

∴                       (1分)

化簡(jiǎn)可得 ．                                                 (1+1分)

（3）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)、之間時(shí)，由（1）知  ，故此時(shí)與外切；(1分)

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，，不存在．

③當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

將△繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得△，圖2．

         有,,,

 ∴．

          ∴．

 又，

∴△≌△．                                                       (1分)

∴．                                         (1分)

∴此時(shí)與內(nèi)切．                                                      (1分)

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，與外切；當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，與內(nèi)切．

（4）△與△能夠相似，只要當(dāng)即可．

這時(shí)有．                                                            (1分)

設(shè)，，由（3）有

由，得．

化簡(jiǎn)可得  ．                                                    (1分)

又由，得，即，化簡(jiǎn)得，          (1分)

解之得，，（不符題意，舍去）                               (1分)

∴所求的長(zhǎng)為．

（1）將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，易知點(diǎn)F′、B、E在一直線(xiàn)上．證得AF′E≌△AFE．從而得到EF=F′E=BE+DF；

（2）由（1）得 EF=x+y再根據(jù) CF=1-y，EC=1-x，得到（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．化簡(jiǎn)即可得到y(tǒng)=（0＜x＜1）．

（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、C之間時(shí)，由（1）知 EF=BE+DF，故此時(shí)⊙E與⊙F外切；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，DF=0，⊙F不存在．當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，證得△AF′E≌△AFE．即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．從而得到此時(shí)⊙E與⊙F內(nèi)切．

（4）△EGF與△EFA能夠相似，只要當(dāng)∠EFG=∠EAF=45°即可．這時(shí)有 CF=CE．設(shè)BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．化簡(jiǎn)可得 y=（x＞1）．又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化簡(jiǎn)得x²-2x-1=0，解之即可求得BE的長(zhǎng)．