Question

【題目】已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點，EF=7，連接AF．如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上．如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ．當點N到達終點B時，△GMNP和點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，解答問題：

（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；

（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）在整個運動過程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=10秒；（2）存在，t=，或秒；（3）；；；．

【解析】

（1）由勾股定理，求出MN的長，點Q運動到AE上時的距離MN的長，離從而除以速度即得t的值；

（2）△APQ是等腰三角形，分為三種情形，需要分類討論，避免漏解．如答圖2、答圖3、答圖4所示；

（3）整個運動過程分為四個階段，每個階段重疊圖形的形狀各不相同，如答圖5-答圖8所示，分別求出其面積的表達式．

解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，

∴由勾股定理，得NM=10．

當點G在線段AE上時，如圖，

此時，GG′=MN=10．

∵△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，

∴t=10秒．

（2）存在符合條件的點P．

在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．

設(shè)∠AEB=θ，則sinθ=，cosθ=．

∵NE=t，∴QE=NEcosθ=t，AQ=AE-QE=20-t．

△APQ是等腰三角形，有三種可能的情形：

①AP=PQ．如答圖2所示：

過點P作PK⊥AE于點K，則AK=APcosθ=t．

∵AQ=2AK，∴20-t=2×t，

解得：t=；

②AP=AQ．如答圖3所示：

有t=20-t，

解得：t=；

③AQ=PQ．如答圖4所示：

過點Q作QK⊥AP于點K，則AK=AQcosθ=（20-t）×=16-t．

∵AP=2AK，∴t=2（16-t），

解得：t=．

綜上所述，當t=，或秒時，存在點P，使△APQ是等腰三角形．

由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20．

①當0＜t≤10時，線段GN與線段AE相交，如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，QI⊥AB于點I，過點P作PJ⊥IJ于點J．

根據(jù)題意，知AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即

∴，∴．

由△QHE∽△NGM得，即，

∴

∴．

∴．

若AP=AQ，則，解得，不存在；

若AP=PQ，則，

∴△＜0，無解，不存在；

若AQ=PQ，則，無正數(shù)解，不存在．

②當10＜t≤16時，線段GN的延長線與線段AE相交，如圖，過點Q作QH⊥BC于點H，QI⊥AB于點I，過點P作PJ⊥IJ于點J．

同上，AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，

∴∴．

由△QHE∽△NGM得，即，

∴

∴．

∴．

若AP=AQ，則，解得．

若AP=PQ，則，

∴△＜0，無解，不存在；

若AQ=PQ，則，無正數(shù)解，不存在．

綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形．

（3）當0＜t≤7時，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積，

由（2）①，EN=t，，∴．

當7＜t≤10時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積，它等于△NQE的面積減去△NIF的面積．

由（2）①，EN=t，，∴．

過點I 作IJ⊥BC于點J，

∵EF=7，EN=t，∴．

由△FJI∽△FBA得，即．

由△INJ∽△MNG得，即．

二式相加，得．∴

∴．

當10＜t≤時，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積．

過點I 作IH⊥BC于點H，

∵EF=7，EN=t，∴．

由△FHG∽△FBA得，即．

由△INH∽△MNG得，即．

二式相加，得．∴．

∴．

④當＜t≤16時時，如答圖8所示：

FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．

設(shè)GM與AF交于點I，過點I作IK⊥MN于點K．
∵tan∠IFK==，∴可設(shè)IK=4x，FK=3x，則KM=3x+17-t．
∵tan∠IMF==，

解得：x=（17-t）．

∴IK=4x=（17-t）．

∴S=FMIK=（t-17）2．

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：；；；．