Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若d＝|PD﹣PF|．請(qǐng)說(shuō)明d是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出其大�。蝗舨皇嵌ㄖ�，請(qǐng)說(shuō)明其變化規(guī)律？

（3）求出△PDE周長(zhǎng)取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）d是定值，d＝|PD﹣PF|的定值為2；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式即可；

（2）首先表示出P，F點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD，PF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可；

（3）過(guò)E作EF⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，求得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PE+PF最��；當(dāng)P與A重合時(shí)，PE+PF最大；即可解答．

（1）∵邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴C（0，8），A（﹣8，0），

設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：y＝ax2+c，

則 ，

解得：

∴拋物線(xiàn)解析式為: ．

（2）設(shè)P（x，），則F（x，8），

則PF＝8-（）＝．

PD2＝x2+[6﹣（﹣+8）]2＝

∴，

∴

∴d＝|PD﹣PF|為定值2；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，

由d＝|PD﹣PF|為定值2，

得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），

又∵D（0，6），E（﹣4，0）

∴

∴

當(dāng)PE和PF在同一直線(xiàn)時(shí)PE+PF最小，

得C△PDE最小值 ．

設(shè)P為拋物線(xiàn)AC上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PM∥x軸，交AB于點(diǎn)M，連接ME，如圖2．

由于E是AO的中點(diǎn)，易證得ME≥PE（當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A時(shí)，在△PME中，顯然∠MPE是鈍角，故ME≥PE，與A重合時(shí)，等號(hào)成立），而ME≤AE+AM，

所以PE≤AE+AM．

所以當(dāng)P與A重合時(shí)，PE+PF最大，

AE＝8﹣4＝4， ．

得C△PDE最大值＝．

∴