Question

已知拋物線(xiàn)①經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（4，5）、C（0，-3），其對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線(xiàn)①的表達(dá)式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）將拋物線(xiàn)①向右平移1個(gè)單位后再作上下平移，得到的拋物線(xiàn)②恰好過(guò)點(diǎn)P，求上下平移的方向和距離；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)②的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為E，試求∠EDP的正弦值．

Answer 1

解：（1）據(jù)題意設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=ax²+bx-3，
則，
解得，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x²-2x-3，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，
據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx-3，則5=4k-3，k=2，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=2x-3，
∴P（1，-1）；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)①向右平移1個(gè)單位后再向上平移m個(gè)單位得拋物線(xiàn)②，
則拋物線(xiàn)②的表達(dá)式為y=（x-1-1）²-4+m，
∵拋物線(xiàn)②過(guò)點(diǎn)P，
∴-1=（1-1-1）²-4+m，
∴m=2，
∴再將它向上移動(dòng)2個(gè)單位可得到拋物線(xiàn)②；

（3）∵拋物線(xiàn)①向右移動(dòng)1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到拋物線(xiàn)②，
∴拋物線(xiàn)②的表達(dá)式是y=（x-1-1）²-4+2，即y=（x-2）²-2，
∴D（2，-2），E（0，2），
∵P（1，-1），
∴直線(xiàn)DP過(guò)點(diǎn)O，且與x軸夾角為45°，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DP于點(diǎn)H，
∴∠EOH=45°，
∵E（0，2），
∴EH=，而ED==2，
∴sin∠EDP==．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=ax²+bx-3，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得a、b的值，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線(xiàn)BC的解析式．對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)P，因而P的坐標(biāo)即可確定．
（2）設(shè)拋物線(xiàn)①向右平移1個(gè)單位后再向上平移m個(gè)單位得拋物線(xiàn)②，根據(jù)拋物線(xiàn)①的頂點(diǎn)式解析式，寫(xiě)出拋物線(xiàn)②的頂點(diǎn)式解析式．再將（1）中得到的P點(diǎn)坐標(biāo)值代入，即可求得m的值，那么拋物線(xiàn)②上下平移的方向和距離也就得知．
（3）首先根據(jù)（2）寫(xiě)出拋物線(xiàn)②的解析式，D點(diǎn)的坐標(biāo)也就確定．因?yàn)镋點(diǎn)是拋物線(xiàn)②與y軸的交點(diǎn)，那么可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)值．首先根據(jù)D、P點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到直線(xiàn)DP與x軸夾角．再利用角間的關(guān)系及三角函數(shù)，得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線(xiàn)的平移等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生利用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式解決平移，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．