Question

【題目】如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊OQ在射線OA上，另一邊OP與OC都在直線AB的上方．將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周．

（1）如圖2，經過t秒后，OP恰好平分∠BOC．

①求t的值；

②此時OQ是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）若在三角板轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經過多長時間OC平分∠POQ？請說明理由；

（3）在（2）問的基礎上，經過多少秒OC平分∠POB？（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由詳見解析；（2）5秒或65秒時OC平分∠POQ；（3）t＝秒．

【解析】

（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分線定義求出∠POC度數(shù)，根據(jù)角的和差關系求出∠COQ度數(shù)，再算出旋轉角∠AOQ度數(shù)，最后除以旋轉速度3即可求出t值；②根據(jù)∠AOQ和∠COQ度數(shù)比較判斷即可；

（2）根據(jù)旋轉的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根據(jù)角平分線定義可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之間的關系構造方程求出時間t；

（3）先證明∠AOQ與∠POB互余，從而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根據(jù)角平分線定義再用t表示∠BOC度數(shù)；同時旋轉后∠AOC＝30°+6t，則根據(jù)互補關系表示出∠BOC度數(shù)，同理再把∠BOC度數(shù)用新的式子表達出來．先后兩個關于∠BOC的式子相等，構造方程求解．

（1）①∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,

∵OP平分∠BOC，

∴∠COP＝∠BOC＝75°,

∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,

∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°,

t＝15÷3＝5；

②是，理由如下：

∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，

∴OQ平分∠AOC；

（2）∵OC平分∠POQ，

∴∠COQ＝∠POQ＝45°．

設∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，

由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，

解得：t＝5，

當30+6t﹣3t＝225，也符合條件，

解得：t＝65，

∴5秒或65秒時，OC平分∠POQ；

（3）設經過t秒后OC平分∠POB，

∵OC平分∠POB，

∴∠BOC＝∠BOP，

∵∠AOQ+∠BOP＝90°，

∴∠BOP＝90°﹣3t，

又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，

∴180﹣30﹣6t＝（90﹣3t），

解得t＝．