分析 (1)根據(jù)題意表示出AP,BQ,再由AB-AP表示出PB,進而表示出三角形PBQ面積,根據(jù)已知面積求t的值即可;
(2)四邊形PBOQ面積=矩形ABCD面積-△APD面積-△CQD面積,化簡得到結(jié)果為常數(shù),即可得證;
(3)分三種情況考慮:當DP=DQ;DP=PQ;DQ=PQ,利用勾股定理求出相應t的值即可;
(4)若△PDQ是直角三角形,分三種情況考慮:當∠PQD=90°時;當∠PDQ=90°時;當∠DPQ=90°時,分別利用勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到結(jié)果.
解答 (1)解:由題意得:AP=t,BQ=2t,則有PB=AB-AP=6-t,
可得△PBQ的面積S=12PB•BQ=12×(6-t)×2t=8,
解得:t=2或t=4,
則當t=2或t=4時,△PBQ的面積等于8cm2;
(2)證明:∵S四邊形PBQD=6×12-12•t•12-12(12-2t)•6=36,
∴四邊形PBQD的面積始終等于36,為定值;
(3)解:分三種情況考慮:
當DP=DQ時,由題意得:122+t2=62+(12-2t)2,
解得:t1=8+2√13(舍去),t2=8-2√13;
當DP=PQ時,由題意得122+t2=(6-t)2+(2t)2,
解得:t1=3−3√132(舍去),t2=3+3√132(舍去);
當DQ=PQ時,由題意得62+(12-2t)2=(6-t)2+(2t)2,
解得:t1=-6√13-18(舍去),t2=6√13-18,
綜上所述,當t為8-2√13或6√13-18時,△PDQ是等腰三角形;
(4)若△PDQ是直角三角形,分三種情況考慮:
當∠PQD=90°時,則有PD2=PQ2+DQ2,即122+t2=(6-t)2+(2t)2+62+(12-2t)2,
整理得:2t2-15t+18=0,即(2t-3)(t-6)=0,
解得:t=32或t=6(舍去);
當∠PDQ=90°時,PQ2=PD2+DQ2,即(6-t)2+(2t)2=122+t2+62+(12-2t)2,
整理得:36t=288,
解得:t=8(舍去);
當∠DPQ=90°時,DQ2=PQ2+PD2,即62+(12-2t)2=(6-t)2+(2t)2+122+t2,
整理得:t(t+18)=0,
解得:t=0(舍去)或t=-18(舍去),
綜上,當t=32時,△PDQ是直角三角形.
點評 此題屬于四邊形綜合題,涉及的知識有:三角形、四邊形的面積,勾股定理,等腰三角形、直角三角形的性質(zhì),熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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