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4.如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動;同時,點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動,設(shè)運動的時間為ts(0<t<6),試嘗試探究下列問題:
(1)當t為何值時,△PBQ的面積等于8cm2;
(2)求證:四邊形PBQD面積為定值;
(3)當t為何值時,△PDQ是等腰三角形.寫出探索過程;
(4)當t為何值時,△PDQ是直角三角形,只需求出t的值.

分析 (1)根據(jù)題意表示出AP,BQ,再由AB-AP表示出PB,進而表示出三角形PBQ面積,根據(jù)已知面積求t的值即可;
(2)四邊形PBOQ面積=矩形ABCD面積-△APD面積-△CQD面積,化簡得到結(jié)果為常數(shù),即可得證;
(3)分三種情況考慮:當DP=DQ;DP=PQ;DQ=PQ,利用勾股定理求出相應t的值即可;
(4)若△PDQ是直角三角形,分三種情況考慮:當∠PQD=90°時;當∠PDQ=90°時;當∠DPQ=90°時,分別利用勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到結(jié)果.

解答 (1)解:由題意得:AP=t,BQ=2t,則有PB=AB-AP=6-t,
可得△PBQ的面積S=12PB•BQ=12×(6-t)×2t=8,
解得:t=2或t=4,
則當t=2或t=4時,△PBQ的面積等于8cm2;
(2)證明:∵S四邊形PBQD=6×12-12•t•12-12(12-2t)•6=36,
∴四邊形PBQD的面積始終等于36,為定值;
(3)解:分三種情況考慮:
當DP=DQ時,由題意得:122+t2=62+(12-2t)2,
解得:t1=8+213(舍去),t2=8-213;
當DP=PQ時,由題意得122+t2=(6-t)2+(2t)2
解得:t1=33132(舍去),t2=3+3132(舍去);
當DQ=PQ時,由題意得62+(12-2t)2=(6-t)2+(2t)2,
解得:t1=-613-18(舍去),t2=613-18,
綜上所述,當t為8-213或613-18時,△PDQ是等腰三角形;
(4)若△PDQ是直角三角形,分三種情況考慮:
當∠PQD=90°時,則有PD2=PQ2+DQ2,即122+t2=(6-t)2+(2t)2+62+(12-2t)2
整理得:2t2-15t+18=0,即(2t-3)(t-6)=0,
解得:t=32或t=6(舍去);
當∠PDQ=90°時,PQ2=PD2+DQ2,即(6-t)2+(2t)2=122+t2+62+(12-2t)2,
整理得:36t=288,
解得:t=8(舍去);
當∠DPQ=90°時,DQ2=PQ2+PD2,即62+(12-2t)2=(6-t)2+(2t)2+122+t2
整理得:t(t+18)=0,
解得:t=0(舍去)或t=-18(舍去),
綜上,當t=32時,△PDQ是直角三角形.

點評 此題屬于四邊形綜合題,涉及的知識有:三角形、四邊形的面積,勾股定理,等腰三角形、直角三角形的性質(zhì),熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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10.如圖,數(shù)軸上有A、B、C、O四點,點O是原點,BC=13AB=8,OB比AO的14少1.
(1)寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-20.
(2)動點P、Q分別從A、C同時出發(fā),點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,點Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,M為線段AP的中點,點N在線段CQ上,且CN=13CQ.設(shè)運動時間為t(t>0)秒.
①寫出數(shù)軸上點M表示的數(shù)為3t-20,點N表示的數(shù)為12-t(用含t的式子表示).
②當t=4時,原點O恰為線段MN的中點.
③若動點R從點A出發(fā),以每秒9個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,若P、Q、R三動點同時出發(fā),當點R遇到點Q后,立即返回以原速度向點P運動,當點R遇到點P后,又立即返回以原速度向點Q運動,并不停地以原速度往返于點P與點Q之間,當點P與點Q重合時,點R停止運動.問點R從開始運動到停止運動,行駛的總路程是多少個單位長度?

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11.小明說:“三邊長恰好是三個連續(xù)偶數(shù)的直角三角形是存在的.”你同意小明的說法嗎?若你認為小明的說法正確,求出這個直角三角形的各邊長;若你認為小明的說法不正確,請說明理由.

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8.已知a2-4a+1=0,求:(1)a2+1a2的值;(2)a4+1a4的值.

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9.先化簡再求值:3x2-(2x2+5x-1)-(3x+1),其中x=-12

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16.某人去水果批發(fā)市場采購蘋果,他看中了A、B兩家蘋果.這兩家蘋果品質(zhì)一樣,零售價都為6元/千克,批發(fā)價各不相同.A家規(guī)定:批發(fā)數(shù)量不超過1000千克,按零售價的92%優(yōu)惠;批發(fā)數(shù)量超過1000千克不超過2000千克,按零售價的90%優(yōu)惠;超過2000千克的按零售價的88%優(yōu)惠.B家的規(guī)定如下表:
 數(shù)量范圍(千克)0~500 500以上~1500 1500以上~25002500以上
 價格(元) 零售價的95% 零售價的85% 零售價的75% 零售價的70%
表格說明:批發(fā)價格分段計算,如:某人批發(fā)蘋果2100千克,則總費用=6×95%×500+6×85%×1000+6×75%×(2100-1500)
(1)如果他批發(fā)600千克蘋果,則他在A家批發(fā)需要3312元,在B家批發(fā)需要3360元;
(2)如果他批發(fā)x千克蘋果(1500<x<2000),則他在A家批發(fā)需要5.4x元,在B家批發(fā)需要4.5x-1200元(用含x的代數(shù)式表示);
(3)現(xiàn)在他要批發(fā)1800千克蘋果,你能幫助他選擇在哪家批發(fā)更優(yōu)惠嗎?請說明理由.

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13.化簡求值:2(x2-xy)-3(2x2-3xy)-2x2,其中x=-2,y=3.

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14.先化簡,再求值:
(1)(5a+2a2-3-4a3)-(-a+3a3-a2),其中a=-2;
(2)3x2-[x2-2(3x-x2)],其中x=-7;
(3)2(x2y+xy)-3(x2y-xy)-4x2y,其中x=1,y=-1.

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