Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的一邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點(diǎn)C（4，8）在第一象限內(nèi)，AC與y軸交于點(diǎn)E，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣6）．

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△PAC的面積為S，試求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若點(diǎn)M是x軸正半軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），拋物線上是否存在點(diǎn)N，使∠CAN=∠MAN．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）N

【解析】

（1）先確定B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y= ；
（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y= ，作PQ∥y軸交AC于Q，設(shè)P（m，），則Q（m，），則PQ= ，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ計(jì)算即可；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，則F（4，3），接著求出直線AF的解析式為y= x+1，于是通過(guò)解方程組得N點(diǎn)坐標(biāo)為（）

（1）∵BC⊥x軸，點(diǎn)C（4，8），
∴B（4，0），
把B（4，0），D（0，-6）代入y=得，解得

∴拋物線解析式為

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，
把A（-2，0），C（4，8）代入得，解得

∴直線AC的解析式為

如圖1，作PQ∥y軸交AC于Q，

設(shè)，則Q

（3）圖2，當(dāng)點(diǎn)M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，則FH=FB，
易得AH=AB=6，

∴F（4，3），

易得直線AF的解析式為

解方程組得或

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為