Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點E作y軸的平行線交直線BC于點M、交x軸于點F，當(dāng)S△BEC=時，請求出點E和點M的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)E點的橫坐標(biāo)為1時，在EM上是否存在點N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3;（2）點E的坐標(biāo)是（1，3）或（2，2）,M的坐標(biāo)是（1，2）或（2，1）;

（3）存在,N（1， ）或N′（1，-10）．

【解析】試題分析：（1）由直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點C、B的坐標(biāo)，代入y=ax2+x+c即可得得解；

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，﹣ x2+x+3），則點M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），求出EM的長，利用面積即可得解；

（3）存在.分別求出CB，CM的值，進(jìn)行分類討論即可得解.

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標(biāo)是（0，3），點C的坐標(biāo)是（3，0）

∵y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，

∴

解得

∴y=﹣x2+x+3．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，

∴設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，﹣ x2+x+3），

則點M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC=

=×（﹣x2+x）×3=﹣x2+x=

∴﹣x2+x=，解之得，x1=1，x2=2

即點E的坐標(biāo)是（1，3）或（2，2）

此時對應(yīng)的M的坐標(biāo)是（1，2）或（2，1）．

（3）存在．

易得∠CBE=∠CEF=45 ，CB=，CM=，BE=1，

①當(dāng)時，△CMN∽△CBE,

即，得MN=，

∴FN=，N（1， ）

②當(dāng)時，△CMN∽△EBC,

即，得MN=12，

∴FN=-10，N′（1，-10），

∴在EM上是否存在條件的點N，是N（1， ）或N′（1，-10）．