Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段CQ，連接BP，DQ．

（1）求證：△BCP≌△DCQ；

（2）延長(zhǎng)BP交直線DQ于點(diǎn)E．

①如圖2，求證：BE⊥DQ；

②若△BCP是等邊三角形，請(qǐng)畫(huà)出圖形，判斷△DEP的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②作圖見(jiàn)解析；△DEP為等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；

（2）①根據(jù)全等的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得到答案；

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判斷△DEP的形狀．

（1）證明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ；

（2）①如圖b，

∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②畫(huà)圖如下，

∵△BCP為等邊三角形，

∴∠BCP=60°，

∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPD=∠CDP=75°，

又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，

∴△DEP為等腰直角三角形．