Question

【題目】在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．

（1）如圖1，把△AMN沿直線MN折疊得到△PMN，設(shè)AM=x．

i．若點(diǎn)P正好在邊BC上，求x的值；

ii．在M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．

（2）如圖2，以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMQN．試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）i．當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上；ii． y=，當(dāng)x=時(shí)，重疊部分的面積最大，其值為2；（2）當(dāng)x=時(shí)，⊙O與直線BC相切；當(dāng)x＜時(shí)，⊙O與直線BC相離；x＞時(shí)，⊙O與直線BC相交．

【解析】試題分析：（1）i．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可求得相等的線段與角，可得點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，即當(dāng)x=AB=2時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上；

ii．分兩種情況討論：①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△MNP與梯形BCNM重合的面積為△MNP的面積，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)△MNP的面積等于△AMN的面積，易見y=x2

②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如圖2，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由題意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得．

（2）利用分類討論的思想，先求的直線BC與⊙O相切時(shí)，x的值，然后得到相交，相離時(shí)x的取值范圍．

試題解析：（1）i．如圖1，

由軸對(duì)稱性質(zhì)知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，

又MN∥BC，

∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，

∴∠B=∠BPM，

∴AM=PM=BM，

∴點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，即當(dāng)x=AB=2時(shí)，點(diǎn)P恰好落在邊BC上．

ii．以下分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，

∵M(jìn)N∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，

∴，

∴AN= ，

△MNP與梯形BCNM重合的面積為△MNP的面積，

∴，

②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如圖2，

設(shè)PM，PN分別交BC于E，F，

由（2）知ME=MB=4-x，

∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，

由題意知△PEF∽△ABC，

∴，

∴S△PEF=（x-2）2，

∴y=S△PMN-S△PEF=，

∵當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x2，

∴易知y最大=，

又∵當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=，

∴當(dāng)x=時(shí)（符合2＜x＜4），y最大=2，

綜上所述，當(dāng)x=時(shí)，重疊部分的面積最大，其值為2．

（2））如圖3，

設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連接AO，OD，則AO=OD=MN．

在Rt△ABC中，BC==5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴，即，

∴MN=x

∴OD=x，

過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=x，

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴，

∴BM= ，AB=BM+MA=x+x=4

∴x=，

∴當(dāng)x=時(shí)，⊙O與直線BC相切；

當(dāng)x＜時(shí)，⊙O與直線BC相離；

x＞時(shí)，⊙O與直線BC相交．