Question

20．某手機(jī)店銷售一部A型手機(jī)比銷售一部B型手機(jī)獲得的利潤多50元，銷售相同數(shù)量的A型手機(jī)和B型手機(jī)獲得的利潤分別為3000元和2000元．
（1）求每部A型手機(jī)和B型手機(jī)的銷售利潤分別為多少元？
（2）該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的手機(jī)共110部，其中A型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過B型手機(jī)的2倍．設(shè)購進(jìn)B型手機(jī)n部，這110部手機(jī)的銷售總利潤為y元．
①求y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
②該手機(jī)店購進(jìn)A型、B型手機(jī)各多少部，才能使銷售總利潤最大？
（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)B型手機(jī)出廠價(jià)下調(diào)m（30＜m＜100）元，且限定商店最多購進(jìn)B型手機(jī)80臺(tái)．若商店保持兩種手機(jī)的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中的條件，設(shè)計(jì)出使這110部手機(jī)銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

分析 （1）設(shè)每部A型手機(jī)的銷售利潤為x元，每部B型手機(jī)的銷售利潤為y元，根據(jù)題意列出方程組求解；
（2）①據(jù)題意得，y=-50n+16500，
②利用不等式求出n的范圍，又因?yàn)閥=-50x+16500是減函數(shù)，所以n取37，y取最大值；
（3）據(jù)題意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三種情況討論，①當(dāng)30＜m＜50時(shí)，y隨n的增大而減小，②m=50時(shí)，m-50=0，y=16500，③當(dāng)50＜m＜100時(shí)，m-50＞0，y隨x的增大而增大，分別進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)每部A型手機(jī)的銷售利潤為x元，每部B型手機(jī)的銷售利潤為y元，
根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=50}\\{\frac{3000}{x}=\frac{2000}{y}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=150}\\{y=100}\end{array}\right.$，
答：每部A型手機(jī)的銷售利潤為150元，每部B型手機(jī)的銷售利潤為100元；

（2）①設(shè)購進(jìn)B型手機(jī)n部，則購進(jìn)A型手機(jī)（110-n）部，
則y=150（110-n）+100n=-50n+16500，
其中，110-n≤2n，即n≥36$\frac{2}{3}$，
∴y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為y=-50n+16500 （n≥36$\frac{2}{3}$）；
②∵-50＜0，
∴y隨n的增大而減小，
∵n≥36$\frac{2}{3}$，且n為整數(shù)，
∴當(dāng)n=37時(shí)，y取得最大值，最大值為-50×37+16500=14650（元），
答：購進(jìn)A型手機(jī)73部、B型手機(jī)37部時(shí)，才能使銷售總利潤最大；

（3）根據(jù)題意，得：y=150（110-n）+（100+m）n=（m-50）n+16500，
其中，36$\frac{2}{3}$≤n≤80，
①當(dāng)30＜m＜50時(shí)，y隨n的增大而減小，
∴當(dāng)n=37時(shí)，y取得最大值，
即購進(jìn)A型手機(jī)73部、B型手機(jī)37部時(shí)銷售總利潤最大；
②當(dāng)m=50時(shí)，m-50=0，y=16500，
即商店購進(jìn)B型電腦數(shù)量滿足36$\frac{2}{3}$≤n≤80的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤；
③當(dāng)50＜m＜100時(shí)，y隨n的增大而增大，
∴當(dāng)n=80時(shí)，y取得最大值，
即購進(jìn)A型手機(jī)30部、B型手機(jī)80部時(shí)銷售總利潤最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)n值的增大而確定y值的增減情況．