Question

10．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG，設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）．
（1）△EFG的邊長是x（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)G的位置在D；
（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探究（2）中得到的函數(shù)y在x取何值時(shí)，存在最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長是點(diǎn)E移動(dòng)的距離；根據(jù)等邊三角形的三線合一和F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，即可分析出BF=4，此時(shí)等邊三角形的邊長是2，則點(diǎn)G和點(diǎn)D重合；
（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；
②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，分兩種情況：當(dāng)2＜x＜3時(shí)和當(dāng)3≤x≤6時(shí)及x＞6，進(jìn)行計(jì)算；
（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進(jìn)一步比較取其中的最大值即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，且F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF-BE=2x-x=x，
∴△EFG的邊長是x；
過D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
∴DH=CH•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$當(dāng)x=2時(shí)，BE=EF=2，
∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點(diǎn)H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF=$\sqrt{D{H}^{2}+E{H}^{2}}$=2，
∴△DEF是等邊三角形，
∴點(diǎn)G的位置在D點(diǎn)．
故答案為x，D點(diǎn)；

（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²；
②分兩種情況：
Ⅰ．當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，
△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
∴GM=$\frac{1}{2}$（3x-6），
由勾股定理得：MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3x-6），
∴S_△GMN=$\frac{1}{2}$×GM×MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（3x-6）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3x-6）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3x-6）²，
所以，此時(shí)y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3x-6）²=-$\frac{7\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}x-\frac{9\sqrt{3}}{2}$；

Ⅱ．當(dāng)3≤x≤6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，
△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（6-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
Ⅲ．當(dāng)x＞6時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)都在線段BC的延長線上，沒公共部分，
∴y=0；
（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，在x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，
∴x=2時(shí)，y_最大=$\sqrt{3}$；
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，∵y=-$\frac{7\sqrt{3}}{8}{x}^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}x-\frac{9\sqrt{3}}{2}$在x=$\frac{18}{7}$時(shí)，y_最大=$\frac{9\sqrt{3}}{7}$；
當(dāng)3≤x≤6時(shí)，∵y=$\frac{\sqrt{3}}{8}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9\sqrt{3}}{2}$，在x＜6時(shí)，y隨x增大而減小，
∴x=3時(shí)，y_最大=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．
綜上所述：當(dāng)x=$\frac{18}{7}$時(shí)，y_最大=$\frac{9\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了梯形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圖形的面積，解本題的關(guān)鍵是畫出圖形，是一道動(dòng)態(tài)題，難度較大，注意不同的情況，能夠熟練求得二次函數(shù)的最值．