Question

【題目】在直角坐標系中，過原點O及點A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，連結OB，D為OB的中點。點E是線段AB上的動點，連結DE，作DF⊥DE，交OA于點F，連結EF。已知點E從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設移動時間為t秒。

（1）如圖1，當t=3時，求DF的長；
（2）如圖2，當點E在線段AB上移動的過程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠DEF的值；
（3）連結AD，當AD將△DEF分成的兩部分面積之比為1:2時，求相應t的值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：當t=3時，如圖1，點E為AB中點.

∵點D為OB中點，

∴DE//OA，DE=OA=4，

∵OA⊥AB,

∴DE⊥AB,

∴∠OAB=∠DEA=90°,

又∵DF⊥DE,

∴∠EDF=90°

∴四邊形DFAE是矩形，

∴DF=AE=3.

（2）

解： ∵∠DEF大小不變，如圖2，

過D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M、N,

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥AB,

∴四邊形DMAN是矩形，

∴∠MDN=90°，DM//AB,DN//OA,

∴,,

∵點D為OB中點，

∴M、N分別是OA、AB中點，

∴DM=AB=3,DN=OA=4,

∵∠EDF=90°,

∴∠FDM=∠EDN.

又∵∠DMF=∠DNE=90°,

∴△DMF∽△DNE

∴,

∵∠EDF=90°,

∴tan∠DEF=

（3）

解：過D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分別是M,N.

若AD將△DEF的面積分成1：2的兩個部分，設AD交EF于點G，則易得點G為EF的三等分點.

①當點E到達中點之前時.

NE=3-t，由△DMF∽△DNE得

MF=（3-t）.

∴AF=4+MF=-t+.

∵點為EF的三等分點。

∴（.t）.

由點A（8，0），D（4，3）得直線AD解析式為y=-χ+6.

(.t)代入，得t=.

②當點E越過中點之后.

NE=t-3,由△DMF～△DNE得MF=（t-3）.

∴AF=4-MF=-+.

∵點為EF的三等分點.

∴(.).

代入直線AD解析式y(tǒng)=-χ+6.

得t=.

【解析】（1）當t=3時，如圖1，點E、D分別為AB、OB中點，得出DE//OA，DE=OA=4，根據(jù)OA⊥AB得出DE⊥AB，從而得出四邊形DFAE是矩形，根據(jù)矩形性質求出DF=AE=3.
（2）如圖2，過D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M、N,四邊形OABC、DMAN都是矩形，由平行得出,,由D、M、N是中點又可以得出條件判斷△DMF∽△DNE，從而得出tan∠DEF=。
（3）過D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分別是M,N；若AD將△DEF的面積分成1：2的兩個部分，設AD交EF于點G，則易得點G為EF的三等分點.
分點E到達中點之前或越過中點之后來討論，得出 NE，由△DMF∽△DNE得 MF和AF的長度， 再算出直線AD的解析式，由點G為EF的三等分點得出G點坐標將其代入AD直線方程求出t值。
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和銳角三角函數(shù)的定義的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題．