Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），連接CP，過點P作PQ⊥CP交AD邊于點Q，連接CQ．

（1）當△CDQ≌△CPQ時，求AQ的長；

（2）取CQ的中點M，連接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】試題分析：（1）由全等三角形的性質得到DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理求解即可；

（2）過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，先證得△MDF≌△PME，得出ME=DF=，然后用梯形的中位線的性質定理求解即可．

試題解析：（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC，∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在RT△PBC中，PB==4，∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，設AQ=x，則DQ=PQ=3﹣x，在RT△PAQ中，，解得x=，∴AQ=．

（2）如圖2，過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，∵M是QC的中點，根據直角三角形直線的性質求得DM=PM=QC，在△MDF和△PME中，∵∠MDF=∠PME，∠DFM=∠MEP，DM=PM，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM=MC，∴DF=CF=DC=，∴ME=，∵ME是梯形ABCQ的中位線，∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2．