Question

2．已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=4，現(xiàn)有每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格，將△ABC的點A和點B如圖放置在格點上，點C在點B右側沿著格線運動，使邊BC落在格線上，且1＜BC＜4，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得△A₁B₁C₁，將△ABC向右平移五個格后得△A₂B₂C₂，邊A₁C₁交邊A₂B₂于點G，在點C運動過程中．
（Ⅰ）四邊形A₁A₂B₁G的面積改變（填“改變”或者“不改變”）；
（Ⅱ）四邊形A₁A₂B₁G的面積=$\frac{39}{8}$（如果改變，寫出四邊形面積的最小值；如果不改變，寫出四邊形面積）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在整個圖形的變化過程中，BC與四邊形A₁A₂B₁G的面積是兩個變量設BC=t（1＜t＜4），四邊形A₁A₂B₁G的面積=s，設A₁ B₁ 與  A₂B₂相交于點O，
可證明△A₁ OG∽△A₁ B₁ C₁，得OA₂與OG的長即可判定四邊形A₁A₂B₁G的面積．

解答 解：如下圖所示：
設BC=t（1＜t＜4），四邊形A₁A₂B₁G的面積=s，設 A₁ B₁  與A₂G相交于點O
∵△ABC繞著點C旋轉90°與△A₁ B₁  C₁ 重合，△ABC向右平移5個格后與△A₂B₂C₂重合
∴A₁ B₁⊥B₁ C${\;}_{{\;}_{1}}$，A₁ B₁⊥OG，
∴A₁ B₁∥OG
∴△A₁ OG∽△A₁ B₁ C₁
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}O}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{OG}$
∴$\frac{OG}{t}=\frac{4-（5-t）}{4}$
∴OG=$\frac{{t}^{2}-t}{4}$
∴s=$\frac{1}{2}$  A₁ B₁•OA₂+$\frac{1}{2}$ A₁ B₁•OG
  又OA₂=4-t，A₁ B₁=4，
∴s=$\frac{1}{2}$×4（4-t+$\frac{{t}^{2}-t}{4}$）
          s=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+8（1＜t＜4）
∵s=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+8=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{39}{8}$（1＜t＜4）
∴S_min=$\frac{39}{8}$
即：當BC的長為$\frac{5}{2}$是，四邊形A₁A₂B₁G的面積最小為$\frac{39}{8}$
 
                   

點評 本題考查了圖形的旋轉、平移的性質，解題的關鍵是分析求出圖象在變換過程中變化的量BC與四邊形A₁A₂B₁G的面積之間的關系．