Question

【題目】四邊形ABCD為菱形,BD為對角線，在對角線BD上任取一點E，連接CE，把線段CE繞點C順時針旋轉得到線段CF，使得∠ECF=∠BCD ,點E的對應點為點F，連接DF.

(1)如圖1，求證:BE=DF;

(2)如圖2，若DF=CF=10, ∠DFC=2∠BDC,求菱形ABCD的邊長.

Answer 1

【答案】（10證明見解析；（2） .

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)∠ECF=∠BCD,可求證∠ECB=∠DCF,由旋轉可得:EC=FC,由菱形的性質可得:BC=CD,根據(jù)SAS可證△BCE≌△DCF,所以BE=DF,(2)根據(jù)DF=CF=10,可得DF=10,CF=4,由 ∠DFC=2∠BDC,可得: ∠BEF=2∠BDC,根據(jù)三角形的性質性質可得:

∠BEF=∠BDC+∠ECD,所以∠BDC=∠ECD,所以BE=CE=CF=4,所以BD=14,利用相似三角形的判定可證△BCD∽△CED,根據(jù)相似三角形的性質可得: ,然后計算可得DC.

試題解析:(1)因為∠ECF=∠BCD,

所以∠ECF－∠ECD=∠BCD－∠ECD,

所以∠ECB=∠DCF,

由旋轉可得: EC=FC,

因為菱形ABCD,

所以BC=CD,

在△BCE和△DCF中,

,

所以△BCE≌△DCF,

所以BE=DF,

(2)因為DF=CF=10,所以DF=10,CF=4,

因為∠DFC=2∠BDC,所以 ∠BEF=2∠BDC,

又因為∠BEF=∠BDC+∠ECD,

所以∠BDC=∠ECD,

所以BE=CE=CF=4,所以BD=14,

因為△BCD和△CED是等腰三角形,且∠BDC是公共角

所以△BCD∽△CED,所以,即,解得CD=,

所以菱形的邊長為.