Question

11．如圖，?ABCD，AE⊥BD，CF⊥BD，連接AF、CE．求證：四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析 連接AC，與BD相交于點O，根據(jù)矩形的對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DF，然后求出OE=OF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明．

解答 證明：如圖，連接AC，與BD相交于點O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠AEB=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分，對邊平行且相等；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．