Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心為點(diǎn)C正方形的各邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若點(diǎn)P是與C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于正方形的仿射點(diǎn)Q的定義如下：設(shè)射線CP交正方形的邊于點(diǎn)M，若射線CP上存在一點(diǎn)Q，滿足CP+CQ＝2CM，則稱Q為點(diǎn)P關(guān)于正方形的仿射點(diǎn)如圖為點(diǎn)P關(guān)于正方形的仿射點(diǎn)Q的示意圖．

特別地，當(dāng)點(diǎn)P與中心C重合時(shí)，規(guī)定CP＝0．

（1）當(dāng)正方形的中心為原點(diǎn)O，邊長為2時(shí)．

①分別判斷點(diǎn)F（2，0），G（，），H（3，3）關(guān)于該正方形的仿射點(diǎn)是否存在？若存在，直接寫出其仿射點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P在直線y＝﹣x+3上，且點(diǎn)P關(guān)于該正方形的仿射點(diǎn)Q存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）若正方形的中心C在x軸上，邊長為2，直線y＝與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于該正方形的仿射點(diǎn)Q在正方形的內(nèi)部，直接寫出正方形的中心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn) F 的仿射點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn) G 的仿射點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），②點(diǎn) P 在直線 y=﹣x+3 上，且點(diǎn) P 關(guān)于該正方形的仿射點(diǎn) Q 存在，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍1≤x≤2；（2）滿足條件的正方形的中心 C 的橫坐標(biāo)的取值范圍為 4﹣2≤x≤5﹣ 或 7﹣≤x≤8．

【解析】

（1）①根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于正方形的仿射點(diǎn)的定義可知：當(dāng)點(diǎn)在正方形ABCD（邊長為4、中心為原點(diǎn)O）的內(nèi)部時(shí)（包括正方形的邊上）有仿射點(diǎn)，觀察圖象可知，點(diǎn)F，點(diǎn)G有仿射點(diǎn)，根據(jù)定義即可解決問題；
②如圖2中，直線y=-x+3交CD于K（1，2），交BC于H（2，1），觀察圖象即可判斷；
（2）如圖3中，由題意A（0，2），B（6，0）．求出四個(gè)特殊位置的點(diǎn)C的坐標(biāo)即可判斷；

（1）①如圖 1 中，

根據(jù)點(diǎn)P 關(guān)于正方形的仿射點(diǎn)的定義可知：當(dāng)點(diǎn)在正方形 ABCD（邊長為 4 中心為原點(diǎn) O）的內(nèi)部時(shí)（包括正方形的邊上），有仿射點(diǎn)，

觀察圖象可知，點(diǎn) F，點(diǎn) G 有仿射點(diǎn)，

點(diǎn) F 的仿射點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn) G 的仿射點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

②如圖 2 中，

如圖直線 y=﹣x+3 交 CD 于 K（1，2），交 BC 于 H（2，1），

∴點(diǎn) P 在直線 y=﹣x+3 上，且點(diǎn) P 關(guān)于該正方形的仿射點(diǎn) Q 存在，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍為 1≤x≤2；

（2）如圖 3 中，由題意 A（0，2），B（6，0）．

由（1）可知當(dāng)邊長為 4 的正方形的頂點(diǎn) D 在線段 AB 上時(shí)，DE=2，

∵DE∥OA，

∴，

∴，

∴EB=2，OE=6﹣2 ，

∴OC1=6﹣2﹣2=4﹣2，

∴C1（4﹣2）

當(dāng)邊長為 2 的頂點(diǎn)在線段 AB 上時(shí)，C2（5﹣，0），C3（7﹣），當(dāng)邊長為 4 的正方形的邊經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，可得 C4（8，0），

觀察圖象可知：滿足條件的正方形的中心 C 的橫坐標(biāo)的取值范圍為 4﹣2≤x≤5﹣ 或 7﹣≤x≤8．