Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點(diǎn)F，E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，

∴AE∥BD，

∵∠ADE=∠BAD，

∴DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形

（2）解：∵DA平分∠BDE，

∴∠BAD=∠ADB，

∴AB=BD=5，

設(shè)BF=x，

則52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，

解得，x= ，

∴AF= = ，

∴AC=2AF= ．

【解析】（1）根據(jù)已知和角平分線的定義證明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）設(shè)BF=x，根據(jù)勾股定理求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出AF，根據(jù)AC=2AF得到答案
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．