Question

3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：四邊形CDAF為平行四邊形；
（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）用一組對(duì)邊平行且相等來(lái)得出四邊形CDAF為平行四邊形；
（2）構(gòu)造直角三角形，判斷出△ACD是等邊三角形，得出特殊角，最后用銳角三角函數(shù)，勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，
∴△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是BC邊中線，
∴CD=BD，
∴AF=CD，
∴四邊形CDAF是平行四邊形，
（2）如圖

過(guò)F點(diǎn)作FG⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
∵∠CAB=90°，AD是BC邊中線，
∴AD=CD
又∵AC=AF，AF=CD，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
又∵AF∥BC，
∴∠ABC=∠FAG=30°
∵AE=2，
∴AD=AC=AF=4，
∴在Rt△FAG和Rt△CAB中，
FG=FA×sin∠FAG=4sin30°=2，
AG=FA×cos∠FAG=4cos30°=2$\sqrt{3}$，
AB=AC×tan∠ACB=AC×tan60°=4$\sqrt{3}$，
∴GB=AG+BG=6$\sqrt{3}$
∴在Rt△FBG中，BF=$\sqrt{F{G}^{2}+G{B}^{2}}$=4$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是平行四邊形的性質(zhì)和判定題，還考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是得出∠ABC=30°，用銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)是解本題的難點(diǎn)．