Question

15．已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若AB=8，∠BCD=120°，求四邊形AODE的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得AC⊥BD，然后判斷出四邊形AODE是平行四邊形，即可推得四邊形AODE是矩形．
（2）根據(jù)AB=8，∠BCD=120°，求出AO、BO的大小，即可求出四邊形AODE的面積是多少．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
又∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∴四邊形AODE是矩形．

（2）解：∵∠BCD=120°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠BAO=120°÷2=60°，
∴AO=AB•cos60°=8×$\frac{1}{2}$=4，
∴BO=AB•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴DO=BO=4$\sqrt{3}$，
∴四邊形AODE的面積=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)的應用，以及菱形的性質(zhì)和應用，要熟練掌握．