Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O，與斜邊AB交于點D、E為BC邊的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$，則DE=3；
②當∠B=45°時，以O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形．

Answer 1

分析 （1）運用垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)證明∠ODE=90°即可解決問題；
（2）①直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC的長，再利用直角三角形的性質(zhì)得出DE的長；
②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，由等腰三角形的性質(zhì)，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD．
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵E為BC邊的中點，
∴DE為直角△DCB斜邊的中線，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：①∵∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$，∠BCA=90°，
∴tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：BC=6，
則DE=$\frac{1}{2}$BC=3；
故答案為：3；

②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四邊形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案為：45．

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．