Question

11．【試題背景】
已知：l∥m∥n∥k，平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在l、m、n、k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．
【探究1】
（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，BE⊥l于點(diǎn)E，BE的反向延長(zhǎng)線交直線k于點(diǎn)F，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
【探究2】
（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長(zhǎng)：寬=2：1，則矩形ABCD的寬為$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$或．（直接寫出結(jié)果即可）
【探究3】
如圖2，菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°，△AEF是等邊三角形，AE⊥k于點(diǎn)E，∠AFD=90°，直線DF分別交直線l、k于點(diǎn)G、點(diǎn)M．求證：EC=DF．
【拓展】
（4）如圖3，l∥k，等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B分別落在直線l、k上，AB⊥k于點(diǎn)B，且AB=4，∠ACD=90°，直線CD分別交直線l、k于點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是線段GM、BM上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AD=AE，DH⊥l于點(diǎn)H．
猜想：DH在什么范圍內(nèi)，BC∥DE？并說(shuō)明此時(shí)BC∥DE的理由．

Answer 1

分析 （1）證明△ABE≌△BCF，得出AE=BF，因此BE=3，AE=1，由勾股定理即可得出結(jié)果；
（2）過(guò)B作BE⊥l于點(diǎn)E，交k于點(diǎn)F則BE=1，BF=3，證出△AEB∽△BFC，當(dāng)AB是較短的邊時(shí)，AB=$\frac{1}{2}$BC，則AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，由勾股定理求出AB；當(dāng)AB是長(zhǎng)邊時(shí)，同理可得：BC=$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$；即可得出結(jié)果；
（3）連接AC，由菱形的性質(zhì)和已知條件得出AC=AD，由HL證明Rt△AEC≌Rt△AFD，即可得出EC=DF；
（4）當(dāng)2＜DH＜4時(shí)，點(diǎn)D在線段CM上，連接AM．由HL證明Rt△ABM≌Rt△ACM，得出∠BAM=∠CAM，因此AM⊥BC，由HL證明Rt△ABE≌Rt△ACD，得出∠BAE=∠CAD，因此∠EAM=∠DAM，得出AM⊥ED．即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵l∥k，BE⊥l，
∴∠BFC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠CFB}&{\;}\\{∠BAE=∠CBF}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵d₁=d₃=1，d₂=2，
∴BE=3，AE=1，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{B{E^2}+A{E^2}}$=$\sqrt{{3^2}+{1^2}}$=$\sqrt{10}$，
即正方形的邊長(zhǎng)是$\sqrt{10}$；
（2）解：過(guò)B作BE⊥l于點(diǎn)E，交k于點(diǎn)F，
則BE=1，BF=3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
當(dāng)AB是較短的邊時(shí)，如圖（a），
AB=$\frac{1}{2}$BC，則AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{1+{{（{\frac{3}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$；
當(dāng)AB是長(zhǎng)邊時(shí)，如圖（b）
同理可得：BC=$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$；
故答案為：$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$或$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$；
（3）證明：連接AC，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，
∴AC=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
在Rt△AEC和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△AFD（HL），
∴EC=DF；
（4）解：當(dāng)2＜DH＜4時(shí)，BC∥DE．理由如下：
如圖3所示，當(dāng)2＜DH＜4時(shí)，點(diǎn)D在線段CM上，連接AM，
則∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，
在Rt△ABM和Rt△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），
∴∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAE=∠CAD，
∴∠EAM=∠DAM，
∴AM⊥ED，
∴BC∥DE．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定、菱形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．