Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為1，圓心A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3$\sqrt{2}$，0），直線OB是一次函數(shù)y=x的圖象，讓⊙A沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t
（1）直線OB與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°；
（2）當(dāng)⊙A與坐標(biāo)軸有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1；
（3）求出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中⊙A與直線OB相切時(shí)的t的值；
（4）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙A與直線OB相交所得的弦長(zhǎng)為1時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥x軸于H，如圖，設(shè)B（t，t），則BH=OH，于是可判斷△OBH為等腰直角三角形，所以∠BOH=45°；
（2）當(dāng)⊙A運(yùn)動(dòng)到與y軸相切時(shí)，如圖1，⊙A′與⊙A″與y軸相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA′=OA″=1，則利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AA′=3$\sqrt{2}$-1，AA″=3$\sqrt{2}$+1，所以當(dāng)⊙A與坐標(biāo)軸有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1．
（3）當(dāng)⊙A與直線OB相切時(shí)，如圖2，⊙A′與⊙A″與OB相切，作A′M′⊥OB于M′，A″M″⊥OB于M″，根據(jù)切線的性質(zhì)得A′M′=A″M″=1，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OA′=OA″=$\sqrt{2}$，所以AA′=2$\sqrt{2}$，AA″=4$\sqrt{2}$，于是可判斷運(yùn)動(dòng)過(guò)程中⊙A與直線OB相切時(shí)的t的值為2$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$；
（4）設(shè)⊙A′交直線OB于C、D，則CD=1，如圖3，作A′E⊥OB于E，連接A′C，根據(jù)垂徑定理得CE=DE=$\frac{1}{2}$，在Rt△A′CE中，利用勾股定理得AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在Rt△OA′E中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OA′=$\sqrt{2}$A′E=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，同理可得OA″=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以AA′=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AA″=3$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的時(shí)間即可．

解答 解：（1）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥x軸于H，如圖，
設(shè)B（t，t），則BH=OH，
∴△OBH為等腰直角三角形，
∴∠BOH=45°，
即直線OB與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°；
（2）當(dāng)⊙A運(yùn)動(dòng)到與y軸相切時(shí)，如圖1，⊙A′與⊙A″與y軸相切，
∵OA′=OA″=1，
∴AA′=3$\sqrt{2}$-1，AA″=3$\sqrt{2}$+1，
∴當(dāng)⊙A與坐標(biāo)軸有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1．
故答案為45°，3$\sqrt{2}$-＜t＜3$\sqrt{2}$+1．
（3）當(dāng)⊙A與直線OB相切時(shí)，如圖2，⊙A′與⊙A″與OB相切，
作A′M′⊥OB于M′，A″M″⊥OB于M″，則A′M′=A″M″=1，
∵直線OB與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°，
∴△OA′M′和△OA″M″，
∴OA′=OA″=$\sqrt{2}$，
∴AA′=2$\sqrt{2}$，AA″=4$\sqrt{2}$，
∴運(yùn)動(dòng)過(guò)程中⊙A與直線OB相切時(shí)的t的值為2$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$；
（4）設(shè)⊙A′交直線OB于C、D，則CD=1，
如圖3，作A′E⊥OB于E，連接A′C，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△A′CE中，AE=$\sqrt{A′{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OA′E中，OA′=$\sqrt{2}$A′E=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
同理可得OA″=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AA′=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AA″=3$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此時(shí)t的值為=3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或3$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；通過(guò)特殊點(diǎn)的解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．