Question

已知：三角形ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．

(1)如圖(1)，AB為直徑，要使EF是⊙O的切線，還需添加的條件是(只需寫出三種情況)：

①________或②________或③________．

(2)如圖(2)，AB為非直徑的弦，∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)①AB⊥EF；②∠B＝∠CAE；③∠EAC＋∠CAB＝ 　　(2)EF是⊙O的切線．理由如下： 　　連接AO并延長AO交⊙O于M，連接CM，則∠M＝∠B． 　　∵AM是直徑，∴∠ACM＝，∴∠CAM＋∠M＝．即∠CAM＋∠B＝． 　　∴∠B＝∠CAE，∴∠CAM＋∠CAE＝．∴MA⊥EF． 　　∵MA是⊙O的直徑．∴EF是⊙O的切線． 　　[剖析](1)問中的答案不唯一，只要所補(bǔ)充的條件能使AB⊥EF即可．如：∠BAF＝，∠BAF＝∠C，∠EAB＝∠FAB等均可．(2)問題的關(guān)鍵是要判斷直線EF與過A點(diǎn)的直徑是否垂直，故作過A點(diǎn)的直徑AM．這時問題就轉(zhuǎn)化成判斷∠CAE與∠CAM是否互余，結(jié)合∠CAE＝∠B，故連接CM，運(yùn)用∠M＝∠B將問題轉(zhuǎn)化為判斷∠M與∠CAM是否互余，而后者是顯然的．

提示：

[方法提煉] 　　判斷直線和圓是否相切，只需看直線是否滿足如下兩個條件：①經(jīng)過直徑的一端；②垂直于這條直徑，本題(2)問中EF已經(jīng)過直徑的一端(圓上的一點(diǎn)必定是某條直徑的一個端點(diǎn))，故構(gòu)造直徑，然后判斷直線EF是否滿足第二個條件(即EF是否與AM垂直)．