Question

【題目】如圖1，在等邊和等邊中，，點P在的高上（點與點不重合），點在點的左側，連接，.

（1）求證：；

（2）當點與點重合時，延長交于點，請你在圖2中作出圖形，并求出的長；

（3）直接寫出線段長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）作圖見解析，； （3） .

【解析】

(1)利用條件證明,即可證明BD=CP;

(2)根據等邊三角形的性質,求出∠BCE=30°,再利用三角函數解出BF即可.

(3) 取的中點，連接，證明，長度的最小值就是DE長的最小值，過點作于，求出PF即可.

（1）證明：是等邊三角形，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如圖2，

∵是等邊三角形，

∴當點與點重合時，有，，

∵，

∴，，

∴，

∴，

在中，

∵，，

∴；

（3）長度的最小值是，

理由是：如圖3，由（1）知：，

∴取的中點，連接，則，

∴長度的最小值就是DE長的最小值，

過點作于，垂足就是最小時點的位置，此時，故長度的最小值是.