Question

【題目】已知在中，，分別為邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且在運(yùn)動(dòng)過程中保持，為的對(duì)角線．

（1）如圖①，若，

圖①

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，探索的值；

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，探索的值；

（2）如圖②，參考（1）研究方法，若，

圖②

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，探索的值；

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，探索的值；

（3）如圖③，參考（1）（2）研究方法，若時(shí)，試探索是否存在常數(shù)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；

（2）①；②；

（3）．

【解析】

（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題；

②如圖①中，只要證明即可解決問題；

（2）①解直角三角形求出有關(guān)線段即可解決問題；②若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，如圖②中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，只要證明，可得，在中，，可得，，推出，在中，由，可得，由此即可解決問題；

（3）模仿（1）（2）的解法即可解決問題；

解；（1）①如圖①﹣1中，

圖①-1

四邊形是平行四邊形，

，都是等邊三角形

點(diǎn)與點(diǎn)重合

點(diǎn)與點(diǎn)重合

，

．

②若點(diǎn)與點(diǎn)不重合．如圖①中，

圖①

由①得，都是等邊三角形

，

（2）①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖②﹣1中，

圖②-1

，

易知，又，

又

容易證得

設(shè)，則，，

又，

．

若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，如圖②中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)，，

圖②

由上可知，

，

，

，又，

，

，

在中，，

，，

，

在中，，

，

，

，

，

（3）如圖③當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，作于，于．

設(shè)，．

圖③

則，，，

，，，

由，可得，，

，

，

，

．

由（1）（2）可知：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，，

綜上所述，．