【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(3,0),B(﹣5,0),C(0,﹣5)三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)把拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,若新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi),求n的取值范圍;
(3)設(shè)點(diǎn)P在y軸上,且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的長(zhǎng).
【答案】(1)y=x2+x﹣5;(2)0<n<3;(3)PC=7或17.
【解析】
(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣3)(x+5),將點(diǎn)C(0,﹣5)的坐標(biāo)代入拋物線解析式中,利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)先求得平移后新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)求得n的取值范圍;
(3)分點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上和點(diǎn)P在y軸正半軸上兩種情況進(jìn)行討論,求出兩種情況下CP的長(zhǎng)度。
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(3,0),B(﹣5,0),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣3)(x+5),
∵拋物線過點(diǎn)C(0,﹣5),∴a×(﹣3)×5=﹣5,
∴a=,
∴拋物線解析式為y=(x﹣3)(x+5)=x2+x﹣5,
(2)記原拋物線的頂點(diǎn)為M',
由(1)知,拋物線解析式為y=(x﹣3)(x+5)=(x2+2x﹣15)=(x+1)2﹣,
∴M'(﹣1,﹣),
由平移知,M(﹣1﹣n,﹣1),
∵B(﹣5,0),C(0,﹣5),
∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣5,
當(dāng)y=﹣1時(shí),﹣x﹣5=﹣1,
∴x=﹣4,
∴﹣4<﹣1﹣n<﹣1,
∴0<n<3;
(3)存在,
理由:①當(dāng)P在y軸正半軸上時(shí),如圖,
過點(diǎn)P作PD⊥AC于D,
根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得,∠OPA+∠OCA=∠PAD,
又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°,
∴∠PAD=∠CBA=45°,
∴AD=PD,
∵AO=3,CO=5,
∴AC=,
設(shè)AD=PD=m,則CD=AC+AD=m+,
又∵∠PDA=∠COA=90°,∠PCD=∠ACO,
∴△COA~△CDP,
∴==,
∴==
∴m=,
∴PC=×=17,
②當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上時(shí),記作P',
由①知,OP=PC﹣CO=17﹣5=12,取OP'=OP=12,如圖,
則由對(duì)稱知:∠OP'A=∠OPA, P'O=PO=12,
∴∠OP'A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°,
同理P'也滿足題目條件,∴P'C=OP'﹣OC=12﹣5=7,
綜合以上得:PC=7或17.
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【題目】某單位750名職工積極參加向貧困地區(qū)學(xué)校捐書活動(dòng),為了解職工的捐書量,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取30名職工作為樣本,對(duì)他們的捐書量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果共有4本、5本、6本、7本、8本五關(guān),分別用表示,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成了如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖,由圖中給出的信息解答下列問題:
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求這30名職工捐書本數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù);
(3)估計(jì)該單位750名職工共捐書多少本.
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(1)在中,若,,求的值.
(2)如圖2,在中,,,求,的值.
(3)如圖3,在中,是邊上的中線,,,,求和的長(zhǎng).
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【題目】已知m是正實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程2x2﹣mx﹣30=0的兩個(gè)根為x1、x2,且5x1+3x2=0,在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=mx2+(4+k)x+k與x軸有_____個(gè)交點(diǎn).
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c.
(Ⅰ)若拋物線的頂點(diǎn)為A(﹣2,﹣4),拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(﹣4,0)
①求該拋物線的解析式;
②連接AB,把AB所在直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn).
設(shè)以點(diǎn)A,B,O,P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)4+6≤S≤6+8時(shí),求x的取值范圍;
(Ⅱ)若a>0,c>1,當(dāng)x=c時(shí),y=0,當(dāng)0<x<c時(shí),y>0,試比較ac與l的大小,并說明理由.
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【題目】如圖,△ACB和△ECD都是等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE.
(1)求證:AD=BE;
(2)求∠AEB的度數(shù).
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