Question

14．如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF和AD．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，∠EAC=60°，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據(jù)OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結(jié)論．
（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：連接CE，如圖所示：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°．
∴∠BEC=90°．
∵點F為BC的中點，
∴EF=BF=CF．
∴∠FEC=∠FCE．
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE．
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切線．
（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，
∴△AOE是等邊三角形．
∴∠AOE=60°．
∴∠COD=∠AOE=60°．
∵⊙O的半徑為2，
∴OA=OC=2
在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴∠ODC=30°．
∴OD=2OC=4，
∴CD=$2\sqrt{3}$．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=$2\sqrt{3}$．
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．