Question

【題目】如圖，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長的速度向上移動，且過點(diǎn)P的直線l：y=﹣x+b也隨之移動，設(shè)移動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=3時(shí)，求l的解析式；

（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；

（3）直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4．（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，t的取值范圍是：4＜t＜7．（3）當(dāng)t=1時(shí)，落在y軸上，當(dāng)t=2時(shí)，落在x軸上．

【解析】

試題分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出一次函數(shù)的解析式；

（2）分別求出直線l經(jīng)過點(diǎn)M、點(diǎn)N時(shí)的t值，即可得到t的取值范圍；

（3）找出點(diǎn)M關(guān)于直線l在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)E、F，如解答圖所示．求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后分別求出ME、MF中點(diǎn)坐標(biāo)，最后分別求出時(shí)間t的值．

解：（1）直線y=﹣x+b交y軸于點(diǎn)P（0，b），

由題意，得b＞0，t≥0，b=1+t．

當(dāng)t=3時(shí)，b=4，

故y=﹣x+4．

（2）當(dāng)直線y=﹣x+b過點(diǎn)M（3，2）時(shí)，

2=﹣3+b，

解得：b=5，

5=1+t，

解得t=4．

當(dāng)直線y=﹣x+b過點(diǎn)N（4，4）時(shí)，

4=﹣4+b，

解得：b=8，

8=1+t，

解得t=7．

故若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，t的取值范圍是：4＜t＜7．

（3）如右圖，過點(diǎn)M作MF⊥直線l，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E、F為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)．

過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=3，MD=2．

已知∠MED=∠OEF=45°，則△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，

∴DE=MD=2，OE=OF=1，

∴E（1，0），F(xiàn)（0，﹣1）．

∵M（3，2），F(xiàn)（0，﹣1），

∴線段MF中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

直線y=﹣x+b過點(diǎn)（，），則=﹣+b，解得：b=2，

2=1+t，

解得t=1．

∵M（3，2），E（1，0），

∴線段ME中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．

直線y=﹣x+b過點(diǎn)（2，1），則1=﹣2+b，解得：b=3，

3=1+t，

解得t=2．

故點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)，當(dāng)t=1時(shí)，落在y軸上，當(dāng)t=2時(shí)，落在x軸上．