Question

【題目】定義：有三個(gè)內(nèi)角相等凸四邊形叫三等角四邊形．

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；
（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點(diǎn)A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．
（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C＜90°，若CB=CD=4，則當(dāng)AD的長為何值時(shí)，AB的長最大，其最大值是多少？（作圖解答）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠A=∠B=∠C，

∴3∠A+∠ADC=360°，

∴∠ADC=360°﹣3∠A．

∵0＜∠ADC＜180°，

∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，

∴60°＜∠A＜120°；

（2）

解：證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．

∵DE=DA，DF=DC，

∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，

∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，

∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，

∴四邊形ABCD是三等角四邊形

（3）

解：①當(dāng)60°＜∠A＜90°時(shí)，如圖1，

過點(diǎn)D作DF//AB，DE//BC，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴EB=DF，DE=FB，

∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，

設(shè)AD=x，AB=y，

∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，

∵△DAE∽△DCF，

∴ = ，

∴ = ，

∴y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣2）2+5，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是5，

即：當(dāng)AD=2時(shí)，AB的最大值為5，

②當(dāng)∠A=90°時(shí)，三等角四邊形是正方形，

∴AD=AB=CD=4，

③當(dāng)90°＜∠A＜120°時(shí)，∠D為銳角，如圖2，

過點(diǎn)D作DE//BC，∠DCB=∠CBA，

∴四邊形BCDE是等腰梯形，

∴CD=EB=4，

∵AE=4﹣AB＞0，

∴AB＜4，

綜上所述，當(dāng)AD=2時(shí)，AB的長最大，最大值是5

【解析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，確定出∠A的范圍；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；（3）分三種情況分別討論計(jì)算AB的長，從而得出當(dāng)AD=2時(shí)，AB最長；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．