【題目】已知:關(guān)于x的方程

(1)求證:m取任何值時(shí),方程總有實(shí)根.

(2)若二次函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

a、求二次函數(shù)的解析式

b、已知一次函數(shù),證明:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對(duì)于同一x值,這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立.

(3)在(2)的條件下,若二次函數(shù)的象經(jīng)過(-5,0),且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對(duì)于x的同一個(gè)值,這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立,求二次函數(shù)的解析式.

【答案】(1)證明見解析;(2)a、y1=x2-1;b、證明見解析;(3).

【解析】

(1)首先此題的方程并沒有明確是一次方程還是二次方程,所以要分類討論:

m=0,此時(shí)方程為一元一次方程,經(jīng)計(jì)算可知一定有實(shí)數(shù)根;

m≠0,此時(shí)方程為二元一次方程,可表示出方程的根的判別式,然后結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.

(2)由于拋物線的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么拋物線的一次項(xiàng)系數(shù)必為0,可據(jù)此求出m的值,從而確定函數(shù)的解析式;

此題可用作差法求解,令y1-y2,然后綜合運(yùn)用完全平方式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.

(3)根據(jù)的結(jié)論,易知y1、y2的交點(diǎn)為(1,0),由于y1≥y3≥y2成立,即三個(gè)函數(shù)都交于(1,0),結(jié)合點(diǎn)(-5,0)的坐標(biāo),可用a表示出y3的函數(shù)解析式;已知y3≥y2,可用作差法求解,令y=y3-y2,可得到y(tǒng)的表達(dá)式,由于y3≥y2,所以y≥0,可據(jù)此求出a的值,即可得到拋物線的解析式.

解:(1)分兩種情況:

當(dāng)m=0時(shí),原方程可化為3x-3=0,即x=1; m=0時(shí),原方程有實(shí)數(shù)根;

當(dāng)m≠0時(shí),原方程為關(guān)于x的一元二次方程,

∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0,

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

綜上可知:m取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;

(2)①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;

3(m-1)=0,即m=1;

拋物線的解析式為:y1=x2-1;

②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0,

y1≥y2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立);

(3)由知,當(dāng)x=1時(shí),y1=y2=0,即y1、y2的圖象都經(jīng)過(1,0);

對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值,y1≥y3≥y2成立,

y3=ax2+bx+c的圖象必經(jīng)過(1,0),

y3=ax2+bx+c經(jīng)過(-5,0),

y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a;

設(shè)y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a);

對(duì)于x的同一個(gè)值,這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2成立,

y3-y2≥0,

y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0;

根據(jù)y1、y2的圖象知:a>0,

y最小=≥0

(4a-2)2-4a(2-5a)≤0, (3a-1)2≤0,

而(3a-1)2≥0,只有3a-1=0,解得a= ,

拋物線的解析式為:

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2)當(dāng)a0時(shí),設(shè)△ABM的面積為S,求Sa的函數(shù)關(guān)系;

3)將二次函數(shù)yax22ax2的圖象C1繞點(diǎn)Pt,﹣2)旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)的圖象(記為拋物線C2),頂點(diǎn)為N

當(dāng)﹣2x1時(shí),旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)二次函數(shù)y的值都會(huì)隨x的增大而減小,求t的取值范圍;

當(dāng)a1時(shí),點(diǎn)Q是拋物線C1上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線C2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q',試探究四邊形QMQ'N能否為正方形?若能,求出t的值,若不能,請(qǐng)說明理由.

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1)求拋物線的解析式:

2)若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)PPHAD于點(diǎn)H,作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)E,求PHM的周長的最大值.

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2)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;

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