如圖(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分別翻折,使點(diǎn)B、D恰好落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)E、F處,折痕分別為CM、AN,

(1)求證:△ADN≌△CBM;

(2)請(qǐng)連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形;四邊形MFNE是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn),連接PQ、CQ、MN,如圖(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的長(zhǎng)度.

 

 

(1)證明見(jiàn)解析;(2)是平行四邊形,不是菱形,理由見(jiàn)解析;(3)2.

【解析

試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DAN=NAC,BCM=ACM,從而根據(jù)ADBC可得出DAN=BCM,從而即可判斷出ADN≌△CBM.

(2)連接NE、MF,根據(jù)(1)的結(jié)論可得出NF=ME,再由NFE=MEF可判斷出NFME,在直角三角形NFE中,NE為斜邊,NF為直角邊,可判斷四邊形MFNE不是菱形.

(3)設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QGPC于G點(diǎn),首先求出AC=5,根據(jù)翻折變換知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE-EF)=5,可得EF=1,在RtCFN中,NF=tanNCF•CF,在RtNFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的長(zhǎng),即NM=PQ=QC=2NO,PC=2

試題解析:(1)證明:由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,

∵AD∥BC,

∴∠DAC=∠BCA,

∴∠DAN=∠BCM,

在Rt△ADN和Rt△CBM中,

,

∴△ADN≌△CBM,

(2)【解析】
連接NE、MF,

∵△ADN≌△CBM,

∴NF=ME,

∵∠NFE=∠MEF,

∴NF∥ME,

∴四邊形MFNE是平行四邊形,

∵M(jìn)N與EF不垂直,

∴四邊形MFNE不是菱形;

(3)【解析】
設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QG⊥PC于G點(diǎn),

∵AB=4,BC=3,

∴AC=5,

∵AF=CE=BC=3,

∴2AF-EF=AC,即6-x=5,

解得x=1,

∴EF=1,

∴CF=2,

在Rt△CFN中,tan∠DCA=,

解得NF=,

∵OE=OF=EF=,

∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2,

∴ON=,

∴MN=2ON=,

∵PQ∥MN,PN∥MQ,

∴四邊形MQPN是平行四邊形,

∴MN=PQ=,

∵PQ=CQ,

∴△PQC是等腰三角形,

∴PG=CG,

在Rt△QPG中,

PG2=PQ2-QG2,即PG==1,

∴PC=2PG=2.

考點(diǎn):1.翻折變換(折疊問(wèn)題);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.平行四邊形的判定;4.菱形的判定.

 

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