如圖(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分別翻折,使點(diǎn)B、D恰好落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)E、F處,折痕分別為CM、AN,
(1)求證:△ADN≌△CBM;
(2)請(qǐng)連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形;四邊形MFNE是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn),連接PQ、CQ、MN,如圖(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的長(zhǎng)度.
(1)證明見(jiàn)解析;(2)是平行四邊形,不是菱形,理由見(jiàn)解析;(3)2.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM,從而即可判斷出△ADN≌△CBM.
(2)連接NE、MF,根據(jù)(1)的結(jié)論可得出NF=ME,再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME,在直角三角形NFE中,NE為斜邊,NF為直角邊,可判斷四邊形MFNE不是菱形.
(3)設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QG⊥PC于G點(diǎn),首先求出AC=5,根據(jù)翻折變換知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE-EF)=5,可得EF=1,在Rt△CFN中,NF=tan∠NCF•CF,在Rt△NFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的長(zhǎng),即NM=PQ=QC=2NO,PC=2
試題解析:(1)證明:由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△ADN和Rt△CBM中,
∵,
∴△ADN≌△CBM,
(2)【解析】
連接NE、MF,
∵△ADN≌△CBM,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,
∴NF∥ME,
∴四邊形MFNE是平行四邊形,
∵M(jìn)N與EF不垂直,
∴四邊形MFNE不是菱形;
(3)【解析】
設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QG⊥PC于G點(diǎn),
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF-EF=AC,即6-x=5,
解得x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
在Rt△CFN中,tan∠DCA=,
解得NF=,
∵OE=OF=EF=
,
∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2,
∴ON=,
∴MN=2ON=,
∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴四邊形MQPN是平行四邊形,
∴MN=PQ=,
∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,
PG2=PQ2-QG2,即PG==1,
∴PC=2PG=2.
考點(diǎn):1.翻折變換(折疊問(wèn)題);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.平行四邊形的判定;4.菱形的判定.
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A.眾數(shù)和平均數(shù) B.平均數(shù)和中位數(shù)
C.眾數(shù)和方差 D.眾數(shù)和中位數(shù)
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(1)解不等式組
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如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G.
(1)求證:BF=AE+FG;
(2)若AB=2,求四邊形ABFG的面積.
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