【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在射線OP上運動,點B在射線OM上運動,連接AB.
(1)如圖,已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線,
①點A、B在運動的過程中,∠ACB的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出∠ACB的大。
②如圖,將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線PQ上,記作點C′,則∠ABO= °;如圖,將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線MN上,記作點C′′,則∠ABO= °.
(2)如圖,延長BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線交于E、F,在△AEF中,如果有一個角是另一個角的倍,求∠ABO的度數(shù).
【答案】(1)①∠ACB的大小不變,∠ACB=45°;②30°,60°;(2)∠ABO為60°或72°.
【解析】
(1)①由直線MN與直線PQ垂直相交于O,得到∠AOB=90°,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠PAB+∠ABM=270°,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=∠PAB,∠ABC=∠ABM,于是得到結(jié)論;
②由于將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線PQ上,得到∠CAB=∠BAQ,由角平分線的定義得到∠PAC=∠CAB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;根據(jù)將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線MN上,得到∠ABC=∠ABN,由于BC平分∠ABM,得到∠ABC=∠MBC,于是得到結(jié)論;
(2)由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,進而得出∠E的度數(shù),由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一個角是另一個角的倍分兩種情況進行分類討論.
解:(1)①∠ACB的大小不變,
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,
∴∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠PAB+∠ABM=270°,
∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線,
∴∠BAC=∠PAB,∠ABC=∠ABM,
∴∠BAC+∠ABC=(∠PAB+∠ABM)=135°,
∴∠ACB=45°;
②∵將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線PQ上,
∴∠CAB=∠BAQ,
∵AC平分∠PAB,
∴∠PAC=∠CAB,
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°,
∵∠AOB=90°,
∴∠ABO=30°,
∵將△ABC沿直線AB折疊,若點C落在直線MN上,
∴∠ABC=∠ABN,
∵BC平分∠ABM,
∴∠ABC=∠MBC,
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN,
∴∠ABO=60°,
故答案為:30°,60°;
(2)∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,
∴∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(∠BOQ-∠BAO)=∠ABO,
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線,
∴∠EAF=90°.
在△AEF中,∵有一個角是另一個角的倍,故有:
①∠EAF=∠F,∠E=30°,∠ABO=60°;
②∠F=∠E,∠E=36°,∠ABO=72°;
∴∠ABO為60°或72°.
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【題目】某村為了盡早擺脫貧窮落后的現(xiàn)狀,積極響應國家號召,15位村民集資8萬元,承包了一些土地種植有機蔬菜和水果,種這兩種作物每公頃需要人數(shù)和投入資金如下表:
現(xiàn)有條件下,這15位村民應承包多少公頃土地,怎樣安排能使得每人都有事可做,并且資金正好夠用.
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【題目】甲、乙兩種商品原來的單價和為100元.因市場變化,甲商品降價10%,乙商品提價40%,調(diào)價后兩種商品的單價和比原來的單價和提高了20%.甲、乙兩種商品原來的單價各是多少?
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【題目】已知關于x、y的方程組,其中﹣3≤a≤1,給出下列結(jié)論:
①是方程組的解;
②當a=﹣2時,x+y=0;
③若y≤1,則1≤x≤4;
④若S=3x﹣y+2a,則S的最大值為11.
其中正確的有_____.
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【題目】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形(如圖),然后將剩余部分拼成一個長方形(如圖).
(1)上述操作能驗證的等式是 ;(請選擇正確的一個)
A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b)
(2)應用你從(1)選出的等式,完成下列各題:
①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值.
②計算:(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).
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【題目】黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中,綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A,B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級,經(jīng)市場調(diào)查:購買A種樹木2棵,B種樹木5棵,共需600元;購買A種樹木3棵,B種樹木1棵,共需380元.
(1)求A種,B種樹木每棵各多少元?
(2)因布局需要,購買A種樹木的數(shù)量不少于B種樹木數(shù)量的3倍.學校與中標公司簽訂的合同中規(guī)定:在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素),實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠,請設計一種購買樹木的方案,使實際所花費用最省,并求出最省的費用.
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【題目】為了解某校學生的身高情況,隨機抽取該校男生、女生進行抽樣調(diào)查.已知抽取的樣本中,男生、女生的人數(shù)相同,利用所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖表(單位:cm):
A | x<155 |
B | 155≤x<160 |
C | 160≤x<165 |
D | 165≤x<170 |
E | x≥170 |
根據(jù)圖表提供的信息,樣本中,身高在160≤x<170之間的女生人數(shù)為( )
A. 8 B. 6 C. 14 D. 16
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