Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為26，以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作優(yōu)弧，使點(diǎn)B在O右下方，且tan∠AOB=，在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)P，且能過(guò)P作直線(xiàn)l∥OB交數(shù)軸于點(diǎn)Q，設(shè)Q在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，連接OP．

（1）若優(yōu)弧上一段的長(zhǎng)為13π，求∠AOP的度數(shù)及x的值；

（2）求x的最小值，并指出此時(shí)直線(xiàn)l與所在圓的位置關(guān)系；

（3）若線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為12.5，直接寫(xiě)出這時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）當(dāng)直線(xiàn)PQ與⊙O相切時(shí)時(shí)，此時(shí)x的值為﹣32.5；（3）滿(mǎn)足條件的x的值為﹣16.5或31.5或﹣31.5．

【解析】（1）利用弧長(zhǎng)公式求出圓心角即可解決問(wèn)題；

（2）如圖當(dāng)直線(xiàn)PQ與⊙O相切時(shí)時(shí)，x的值最�。�

（3）由于P是優(yōu)弧上的任意一點(diǎn)，所以P點(diǎn)的位置分三種情形，分別求解即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，

由=13π，

解得n=90°，

∴∠POQ=90°，

∵PQ∥OB，

∴∠PQO=∠BOQ，

∴tan∠PQO=tan∠QOB=，

∴OQ=，

∴x=；

（2）如圖當(dāng)直線(xiàn)PQ與⊙O相切時(shí)時(shí)，x的值最�。�

在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，

此時(shí)x的值為﹣32.5；

（3）分三種情況：

①如圖2中，作OH⊥PQ于H，設(shè)OH=4k，QH=3k．

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，

整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，

解得k=6.3或﹣3.3（舍棄），

∴OQ=5k=31.5．

此時(shí)x的值為31.5．

②如圖3中，作OH⊥PQ交PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．設(shè)OH=4k，QH=3k．

在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，

整理得：k2+3k﹣20.79=0，

解得k=﹣6.3（舍棄）或3.3，

∴OQ=5k=16.5，

此時(shí)x的值為﹣16.5．

③如圖4中，作OH⊥PQ于H，設(shè)OH=4k，AH=3k．

在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，

∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，

整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，

解得k=6.3或﹣3.3（舍棄），

∴OQ=5k=31.5不合題意舍棄．

此時(shí)x的值為﹣31.5．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的x的值為﹣16.5或31.5或﹣31.5．