Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，BD平分∠ABC．

（1）若BD⊥CD，求∠C的度數(shù)；

（2）射線AP從AB位置開始，以每秒10°的速度繞點A逆時針旋轉，6秒后AP與BD有何種位置關系？并說明理由．

（3）在（2）的條件下，AP旋轉一圈回到AB處時停止運動，若射線AP與直線BD相交所成的角中較小的角為x°，當10＜x＜20，則旋轉時間t（單位：秒）的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠C＝60°；（2）PA⊥BD，理由見解析；（3）13＜t ＜14．

【解析】

（1）在Rt△BDC中，求出∠DBC即可；

（2）結論：PA⊥BD．如圖2中，設AP交BD于H．只要證明∠AHB＝90°即可；

（3）如圖3中，①當∠APD＝20°時，易知∠DAP＝30°﹣20°＝10°，推出∠BAP＝130°，此時t＝13秒．②當∠AP′D＝10°時，易知∠DAP′＝30°﹣10°＝20°，推出∠BAP＝140°，此時t＝14秒，由此即可判斷.

解：（1）如圖1中，

∵AD∥BC，BD平分∠ABC，

∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，

∵∠A＝120°，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝30°，

∵BD⊥CD，

∴∠BDC＝90°，

∴∠C＝90°﹣∠DBC＝60°；

（2）結論：PA⊥BD．

理由：如圖2中，設AP交BD于H．

由題意∠BAP＝6×10°＝60°，

∵∠ABD＝30°，

∴∠BAP+∠ABD＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴AP⊥BD．

（3）如圖3中，

①當∠APD＝20°時，易知∠DAP＝30°﹣20°＝10°，

∴∠BAP＝130°，

此時t＝13秒．

②當∠AP′D＝10°時，易知∠DAP′＝30°﹣10°＝20°，

∴∠BAP＝140°，

此時t＝14秒，

∴當13＜t＜14時，10＜x＜20.

故答案為：（1）∠C＝60°；（2）PA⊥BD，理由見解析；（3）13＜t ＜14．