Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）概念理解：
如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．
（2）問題探究：
①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由．
②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié)AA′，BC′，小紅要使平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB′的長）？
（3）拓展應(yīng)用：
如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，AC= AB，試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任寫一個即可）

（2）

解：①正確，理由為：

∵四邊形的對角線互相平分，∴這個四邊形是平行四邊形，

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個四邊形有一組鄰邊相等，

∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形；

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC= ，

∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，

（I）如圖1，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2；

（II）如圖2，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=A′C′= ；

（III）當A′C′=BC′= 時，

如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′= ∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°

∴B′D=B，

設(shè)B′D=BD=x，

則C′D=x+1，BB′= x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2

∴x2+（x+1）2=（ ）2，

解得：x1=1，x2=﹣2（不合題意，舍去），

∴BB′= x=

（Ⅳ）當BC′=AB=2時，如圖4，與（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

設(shè)B′D=BD=x，

則x2+（x+1）2=22，

解得： x1= ，x2= （不合題意，舍去），

∴BB′= x=

（3）

解：BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系為：BC2+CD2=2BD2，如圖5，

∵AB=AD，

∴將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，

∴△ABF≌△ADC，

∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，

∴∠BAD=∠CAF， =1，

∴△ACF∽△ABD，

∴ = ，∴ BD，

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，

∴∠ABC+∠ABF=270°，

∴∠CBF=90°，

∴BC2+FB2=CF2=（ BD）2=2BD2，

∴BC2+CD2=2BD2．

【解析】（1）由“等鄰邊四邊形”的定義易得出結(jié)論；（2）①先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊相等，得出結(jié)論；②由平移的性質(zhì)易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABF≌△ADC，由全等性質(zhì)得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代換得出結(jié)論．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．