Question

如圖，在Rt△OAB中，∠B=9O°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁．
（1）分別求點(diǎn)A₁、B₁的坐標(biāo)；
（2）求旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B通過的路徑的長；
（3）連接BB₁，交y軸于點(diǎn)M，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)B作x軸的垂線BE，垂足為E，利用已知條件證明△BOE∽△ABE，再利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出OA的長，進(jìn)而求點(diǎn)A₁、B₁的坐標(biāo)；
（2）由（1）中的數(shù)據(jù)和弧長公式計(jì)算即可；
（3）若要求，只要證明∴△BOM∽△B₁A₁M，即可得到OM：MA₁=OB：A₁B₁=1：2．
解答：解：（1）過點(diǎn)B作x軸的垂線BE，垂足為E，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），則OE=1，BE=2，
∵∠OEB+∠BOE=90°，∠OBE+∠ABE=90°，
∴∠BOE=∠ABE，
∵∠OEB=∠BEA=90°，
∴△BOE∽△ABE，
∴BE²=OE×EA，EA=4，
∴OA=5，
∴A₁的坐標(biāo)為（0，5），B₁的坐標(biāo)為（-2，1）

（2）∵OB==，∠BOB₁=90°，
∴旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B通過的路徑的長l==π；

（3）∵∠A₁OB+∠AOB=90°，∠BAO+∠AOB=90°，
∴∠A₁OB=∠BAO，
∵∠BAO=∠B₁A₁O，
∴∠A₁OB=∠B₁A₁O，
∴A₁B₁∥OB，
∴△BOM∽△B₁A₁M，
∴OM：MA₁=OB：A₁B₁=1：2．
點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及弧長公式的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度也不�。�