Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交兩點A（﹣1，0），B（3，0），過點A作直線AC與拋物線交于C點，它的坐標(biāo)為（2，﹣3）．

（1）求拋物線及直線AC的解析式；

（2）P是線段AC上的一個動點，（不與A，C重合），過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，點E與點A、C圍成三角形，求出△ACE面積的最大值；

（3）點G為拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1；（2）S△ACE=；（3）存在4個符合條件的F點．

【解析】

（1）將A、B坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式，設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，將A、C坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；

（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），由S△ACE=PE|xC﹣xA|，而|xC﹣xA|的值是確定的，因此只要求得PE的最大值即可；

（3）分CG與AF平行、CF與AG平行，分別畫出符合題意的圖形，分別進(jìn)行求解即可得.

（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，

得，解得：，

∴y=x2﹣2x﹣3，

設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，

將A、C坐標(biāo)代入得

，解得：，

∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1；

（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵點P在點E的上方，

∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴當(dāng)x=時，PE的最大值為，

∴S△ACE=PE|xC﹣xA|=××3=；

（3）①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，

∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）

∴CG∥X軸，此時AF=CG=2，

∴F點的坐標(biāo)是（﹣3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標(biāo)為（1±，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=﹣x+h，將點代入后可得出直線的解析式為y=﹣x+4+．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為（4+，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4﹣，0）；

綜合四種情況可得出，存在4個這樣的點F，分別是F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4﹣，0）．