Question

20．已知關(guān)于x的方程2x²-（3+4k）x+2k²+k=0
（1）k取何值時，①方程有實數(shù)根？②方程沒有實數(shù)根？
（2）若方程的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，且$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{7}{3}$，試求k的值．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判別式得出關(guān)于x的方程2x²-（3+4k）x+2k²+k=0的判別式，再根據(jù)①當(dāng)△≥0，方程有實數(shù)根；②當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{3+4k}{2}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}+k}{2}$，代入得出關(guān)于k的方程，解方程即可．

解答 解：（1）△=[-（3+4k）]²-4×2（2k²+k）=16k+9．
①當(dāng)16k+9≥0，k≥-$\frac{9}{16}$時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
②當(dāng)16k+9＜0，k＜-$\frac{9}{16}$時，方程沒有實數(shù)根；?
（2）∵方程2x²-（3+4k）x+2k²+k=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{3+4k}{2}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}+k}{2}$，
依題意，得$\frac{3+4k}{2{k}^{2}+k}$=$\frac{7}{3}$，
解得：k₁=1，k₂=-$\frac{9}{14}$（不合題意，舍去），
∴k=1．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系．