Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=﹣ x2+bx+c經過點A、C，與AB交于點D．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．
①求S關于m的函數表達式；
②當S最大時，在拋物線y=﹣ x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、C兩點坐標代入拋物線，得

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8

（2）解：①∵OA=8，OC=6，

∴AC= =10，

過點Q作QE⊥BC與E點，

則sin∠ACB= = = ，

∴ = ，

∴QE= （10﹣m），

∴S= CPQE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m；

②∵S= CPQE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m=﹣ （m﹣5）2+ ，

∴當m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8的對稱軸為x= ，

D的坐標為（3，8），Q（34），

當∠FDQ=90°時，F1（ ，8），

當∠FQD=90°時，則F2（ ，4），

當∠DFQ=90°時，設F（ ，n），

則FD2+FQ2=DQ2，

即 +（8﹣n）2+ +（n﹣4）2=16，

解得：n=6± ，

∴F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ），

滿足條件的點F共有四個，坐標分別為

F1（ ，8），F2（ ，4），F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ）．

【解析】（1）將A、C兩點坐標代入拋物線的解析式可得到關于b、c的方程組，接下來，解方程求得b、c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）①先依據勾股定理求得AC的長，從而可表示CQ的長，然后過點Q作QE⊥BC與E點，依據銳角三角函數的定義可求得QE的長，然后依據三角形的面積公式可得到S與m的函數關系式；②先依據函數關系式求得當S最大值是m的值，從而可確定出點Q的坐標，然后再求得拋物線的對稱軸從而得到點F的橫坐標，然后再分為∠FDQ=90°，∠FQD=90°、∠DFQ=90°三種情況求得點F的縱坐標即可.