Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)M、N分別是線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M、N中的一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P．設(shè)點(diǎn)M、點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t為多少時(shí)，△PNE是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）當(dāng)t=1時(shí)，△PNE是等腰三角形．

【解析】

（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根據(jù)tan∠BCO==2得OB=4，據(jù)此得出點(diǎn)B坐標(biāo)，再由OB=4OA可得點(diǎn)A坐標(biāo)；

（2）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式求得a、b的值，從而得出答案；

（3）由題意知AN=2t、BM=t，根據(jù)tan∠BME=tan∠BCO=2知=，求得OE=OB﹣BE=4﹣t，從而得出PE=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，再分點(diǎn)N在點(diǎn)E左側(cè)和右側(cè)兩種情況，表示出NE的長，利用NE=PE列方程求解可得答案．

（1）∵C（0，﹣2），

∴OC=2，

由tan∠BCO==2得OB=4，

則點(diǎn)B（4，0），

∵OB=4OA，

∴OA=1，

則A（﹣1，0）；

（2）將點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，

得：，

解得：，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2；

（3）設(shè)點(diǎn)M、點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則AN=2t、BM=t，

∵PE⊥x軸，

∴PE∥OC，

∴∠BME=∠BCO，

則tan∠BME=tan∠BCO，即=2，

∴=，即 =，

則BE=t，

∴OE=OB﹣BE=4﹣t，

∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，

①點(diǎn)N在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，

此時(shí)NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，

∵△PNE是等腰三角形，

∴PE=NE，

即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，

整理，得：t2﹣11t+10=0，

解得：t=1或t=10＞（舍）；

②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，

又且2t≤5，

∴＜t≤ ，

此時(shí)NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，

由PE=NE得﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=3t﹣5，

整理，得：t2+t﹣10=0，

解得：t=＜0，舍去；或t=＞，舍去；

綜上，當(dāng)t=1時(shí)，△PNE是等腰三角形．