Question

5．如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$AB．于是可得出結(jié)論“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”．

請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問題：
（1）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，∠B=30°時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)=15cm．
（2）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA=3：1．
（3）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且AE=DC，AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知CD=BD，得出△ACD的周長(zhǎng)=AC+AB；
（2）連接AD．利用等腰三角形的性質(zhì)、垂直的定義推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半“分別求得BE、AE的值，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△BAE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形外角的性質(zhì)，可以得到∠PBQ=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出PQ=1，再由勾股定理求出BQ即可．

解答 解：（1）∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+AB=3BD=15cm．
故答案為：15cm；
（2）連接AD，如圖所示．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B=∠ADE=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，EA=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE：EA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD：$\frac{1}{2}$AD，
又∵BD=$\sqrt{3}$AD，
∴BE：AE=3：1．
故答案為：3：1．
（3）∵△ABC為等邊三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}&{\;}\\{∠BAC=∠ACB}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ為△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2，
∴PQ=1，
∴BQ=$\sqrt{B{P}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角直角三角形的性質(zhì)．直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．