Question

已知，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若CE=4，求BD的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）過點C作CG⊥BD于點G，延長CE交⊙O于點M，根據(jù)垂徑定理可得CE=EM，

BC

=

BM

，再根據(jù)C是弧BD的中點可知

BC

=

CD

，故BD=CM，所以CG=BE，再由AAS定理即可得出△CGF≌△BEF，故可得出結(jié)論；
（2）由（1）得，BD=CM，再由CE=4可得出CM的長，進而得出結(jié)論．

解答：解：（1）過點C作CG⊥BD于點G，延長CE交⊙O于點M，
∵CE⊥AB于E，
∴CE=EM，

BC

=

BM

．
∵點C是

BD

的中點，
∴

BC

=

CD

，
∴BD=CM，
∴CG=BE．
在△CGF與△BEF中，
∵

CG=BE ∠CGF=∠BEF ∠CFG=∠BFE

，
∴△CGF≌△BEF（AAS），
∴CF=BF；

（2）∵由（1）得，BD=CM，CM=2CE，
∴BD=2CE=8．

點評：本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．