Question

【題目】如圖1所示，已知拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，E為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且C、E關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，分別作直線(xiàn)AE、DE．

（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）在圖1中，直線(xiàn)DE上有一點(diǎn)Q，使得△QCO≌△QBO，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖2，直線(xiàn)DE與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線(xiàn)段AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有A向F運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)到F處停止，點(diǎn)N由F處出發(fā)，沿射線(xiàn)FE方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)M停止時(shí)點(diǎn)N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，t為何值時(shí)，以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是特殊的平行四邊形．請(qǐng)直接寫(xiě)出t值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為 y=﹣x2+4x+5；（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）；（3）t的值為或或或或．

【解析】試題分析：（1）直接利用交點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，利用配方法得到D（2，9），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，再確定C（0，5），則E（4，5），接著利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)DE的解析式為y=﹣2x+13，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠COQ=∠BOQ，所以點(diǎn)Q為第一象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，最后解方程組 得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)H，先確定DH=9，F(xiàn)H=，DF=，AF=，AM=2t，F(xiàn)N=t，則FM=﹣2t，分類(lèi)討論：當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即t=﹣2t；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FN為菱形對(duì)角線(xiàn)，連接MP交FN于Q，利用菱形的性質(zhì)得FQ=t，再通過(guò)得△FQH∽△FHD得到t： =（﹣2t）： ；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM為菱形對(duì)角線(xiàn)，NP與MF相交于K，如圖3，利用菱形的性質(zhì)得FK=（﹣2t），再通過(guò)△FKN∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，通過(guò)△FMN∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ；當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，通過(guò)△FNM∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ，然后分別解關(guān)于t的方程可確定滿(mǎn)足條件的t的值．

試題解析：（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；

（2）如圖1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，則D（2，9），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+4x+5=5，則C（0，5），

∵C、E關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴E（4，5），

設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=mx+n，

把D（2，9），E（4，5）代入得 ，解得 ，

∴直線(xiàn)DE的解析式為y=﹣2x+13，

∵△QCO≌△QBO，

∴∠COQ=∠BOQ，

∴點(diǎn)Q為第一象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，

即OQ的解析式為y=x，

解方程組，解得 ，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）；

（3）如圖2，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)H，DH=9，F(xiàn)H=，DF=，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣2x+13=0，解得x=，則F（，0），

∴AF=﹣（﹣1）=，

AM=2t，F(xiàn)N=t，則FM=﹣2t，

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即t=﹣2t，解得t=；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FN為菱形對(duì)角線(xiàn)，連接MP交FN于Q，則PM與NQ互相垂直平分，F(xiàn)Q=t，

易得△FQH∽△FHD，

∴FQ：FH=FM：FD，即t： =（﹣2t）： ，解得t=；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且FM為菱形對(duì)角線(xiàn)，NP與MF相交于K，如圖3，則MF與NP互相垂直平分，F(xiàn)K=MF=（﹣2t），

易得△FKN∽△FHD，

∴FK：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t： ，解得t=；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，

易得△FMN∽△FHD，

∴FM：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t： ，解得t=；

當(dāng)以P、M、N、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，

易得△FNM∽△FHD，

∴FM：FD=FN：FH，即（﹣2t）： =t： ，解得t=，

綜上所述，t的值為或或或或．