Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

⑴ 求、、三點的坐標．

⑵ 過點作交拋物線于點，求四邊形的面積．

⑶ 在軸上方的拋物線上是否存在一點，過作軸于點， 使以、、三點為頂點的三角形與相似．若存在，請求出點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)（2）;(3).

【解析】

試題分析：(1)令可分別求出的坐標；（2）對四邊形的面積進行分割成再分別求解；（3）假設存在，分為直角兩種情況討論，利用相似求解.

試題解析:⑴，，

⑵ ∵ ∴

∵ ∴．

過點作軸于，則為等腰直角三角形．

令，則．∴．

∵點在拋物線上．

∴ 解得，（不合題意，舍去）∴．

∴四邊形的面積．

⑶ 假設存在

∵ ∴．

∵軸于點，∴．

在中， ∴

在中， ∴

設點的橫坐標為，則

①點在軸左側時，則．

（ⅰ）當時，有．

∵，．即．解得（舍去）（舍去）．

（ⅱ）當時，有，即．

解得：（舍去）． ∴

② 點在軸右側時，則．

（ⅰ）當時有．

∵，∴，

解得（舍去），．∴

（ⅱ）當時有．即．

解得：（舍去）．∴

∴存在點，使以、、三點為頂點的三角形與相似．

點的坐標為，，．