Question

14．閱讀材料：
通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，小明知道：當(dāng)已知直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可以用待定系數(shù)法，求出這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．
有這樣一個(gè)問題：直線l₁的表達(dá)式為y=-2x+4，若直線l₂與直線l₁關(guān)于y軸對(duì)稱，求直線l₂的表達(dá)式．
下面是小明的解題思路，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
第一步：求出直線l₁與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
第二步：在平面直角坐標(biāo)系中，作出直線l₁；
第三步：求點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)；
第四步：由點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可求出直線l₂的表達(dá)式．
小明求出的直線l₂的表達(dá)式是y=2x+4．
請(qǐng)你參考小明的解題思路，繼續(xù)解決下面的問題：
（1）若直線l₃與直線l₁關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則直線l₃的表達(dá)式是y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）若點(diǎn)M（m，3）在直線l₁上，將直線l₁繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．得到直線l₄，求直線l₄的表達(dá)式．

Answer 1

分析 求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線B、C的解析式；
（1）分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出其解析式即可；
（2）過M點(diǎn)作直線l₄⊥l₁，l₄交y軸于點(diǎn)D，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，求出MN與BN的長，設(shè)ND=a，則MN=$\frac{1}{2}$，BN=1，BD=a+1，根據(jù)勾股定理求出a的值，利用待定系數(shù)法求出直線l₄的表達(dá)式即可．

解答 解：∵直線l₁的表達(dá)式為y=-2x+4，
∴直線l₁與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}b=4\\-2k+b=0\end{array}\right.$，解得k=2，
∴直線l₂的表達(dá)式為：y=2x+4．
故答案為：y=2x+4；

（1）∵A（2，0），B（0，4），
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為E（0，2），F(xiàn)（4，0），
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+c，
則$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ 4a+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴直線l₃的表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2．
故答案為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）過M點(diǎn)作直線l₄⊥l₁，l₄交y軸于點(diǎn)D，作MN⊥y軸于點(diǎn)N．
∵點(diǎn)M（m，3）在直線l₁上，
∴-2m+4=3，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$，B N=1，
∴BM=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
設(shè)ND=a，則MN=$\frac{1}{2}$，BN=1，BD=a+1，
由勾股定理得：（a+1）²=a²+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
解得：a=$\frac{1}{4}$
∴D（0，$\frac{11}{4}$）．
設(shè)直線l₄的表達(dá)式y(tǒng)=kx+$\frac{11}{4}$
把M（$\frac{1}{2}$，3）代入得：k=$\frac{1}{2}$
∴直線l₄的表達(dá)式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解是解答此題的關(guān)鍵．